信号与系统第6章连续信号的复频域分析

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1、第6章连续信号的复频域分析在信号和系统的时域和频域分析方法中，采用的基本信号为单位冲激信号或复简谐信号。由于频域分析方法是基于信号的频谱特性和系统的频率特性对系统进行分析，因此，这种方法是信号处理和系统分析与设计的重要基础。但是，频域分析方法有很多局限性。例如，有些信号不存在傅里叶变换和频谱密度，不稳定的系统不存在频率特性，信号的频谱和系统的频率特性计算较复杂，等等。16.1拉普拉斯变换6.1.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义可以从傅里叶变换的定义推导得到。如果信号f（t）不满足绝对可积条件，

2、则不能用定义求出其傅里叶变换。为此，将f（t）与一指数函数e-σt相乘，得到一个新的信号f（t）e-σt，称为对信号f（t）进行指数加权。26.1.2拉普拉斯变换的零极点及收敛域首先考虑如下例子。例6.1.1求单边指数信号f（t）=e-atu（t）（实数a>0）的拉普拉斯变换F（s）。3图6.1.1s平面、零极点图与收敛域4例6.1.2求反因果信号f（t）=-e-atu（-t）（实数a>0）的拉普拉斯变换F（s）。解根据拉普拉斯变换的定义得到为得到以上结果，必须满足σ<-a，此即为该反因果信号拉普

3、拉斯变换的收敛域，在s平面为穿过极点p1=-a左边的区域。如图6.1.2所示。5图6.1.2反因果信号拉普拉斯变换的收敛域6根据拉普拉斯变换的收敛域及其极点的定义，显然，拉普拉斯变换的收敛域与其极点之间存在密切关系。这一关系可以总结为：①因果信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部最大的极点右边的区域。②反因果信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部最小的极点左边的区域。③双边信号拉普拉斯变换的收敛域都为实部相邻的两个极点之间平行于虚轴的带状区域。④所有时限信号拉普拉斯变换的收敛域为除去σ=-∞或+∞以外的整个s

4、平面。7例6.1.3求双边指数信号f（t）=e-a

5、t

6、，a>0的拉普拉斯变换F（s），并确定其收敛域。解根据定义求得8图6.1.3双边信号拉普拉斯变换的收敛域由式（6.1.5）求得F（s）的极点为p1=-a，p2=a，则其收敛域为p1<σ-∞的整个s平面。106.1.3单边拉普拉斯变换

7、在式（6.1.1）中，积分区间从t=-∞开始，同时包括了t>0和t<0两部分，因此将其称为双边拉普拉斯变换。实际系统中的信号大多数都是因果信号。根据因果信号的定义，在求其拉普拉斯变换时，由于t<0时信号恒为零，则只需考虑t>0的部分。另外考虑到信号中可能包括在t=0时的单位冲激信号及其各阶导数，则可将积分区间取为从t=0-开始，从而得11例6.1.5求单边指数信号f（t）=e-atu（t）（实数a>0）的单边拉普拉斯变换F（s）。解由定义求得12例6.1.6求双边指数信号f（t）=e-a

8、t

9、（实

10、数a>0）的单边拉普拉斯变换F（s）。解由定义求得136.1.4常用信号的拉普拉斯变换表6.1.1给出了常用信号的单边拉普拉斯变换。14与傅里叶变换类似，拉普拉斯变换也有一系列重要性质。利用这些性质，再结合基本信号的拉普拉斯变换，是求解复杂信号拉普拉斯变换的重要方法。此外，这些性质也是线性系统复频域分析的重要基础。6.2拉普拉斯变换的性质156.2.1线性性质线性性质说明，信号的拉普拉斯变换满足齐次性和叠加性。根据该性质，如果某信号能分解为一些基本信号的线性组合，则可由这些基本的拉普拉斯变换通过

11、简单的代数运算求出该信号的拉普拉斯变换。16例6.2.1求f（t）=sinω0tu（t）的拉普拉斯变换F（s）。解根据欧拉公式有176.2.2时移性质需要注意的是，单边拉普拉斯变换的时移性质只适用于因果信号向右平移后得到的信号。如果f（t）为双边信号，则根据此性质，由f（t）的单边拉普拉斯变换F（s）求f（t-t0）的单边拉普拉斯变换将得到错误的结果。18例6.2.2求如图6.2.1（a）和图6.2.1（b）所示信号的拉普拉斯变换。解根据定义得到f1（t）和f2（t）的拉普拉斯变换分别为显然结果是

12、错误的。其主要原因在于f1（t）为双边信号。19图6.2.1例6.2.2图206.2.3尺度变换性质与傅里叶变换的尺度变换性质不同，这里要求a>0。如果a<0，并且f（t）为因果信号，则f（at）为反因果信号，其单边拉普拉斯变换恒为零。216.2.4复频移性质6.2.5时域微积分性质226.2.6复频域微积分性质式（6.2.8）称为复频域微分性质，式（6.2.9）称为复频域积分性质。236.2.7时域卷积性质时域卷积性质说明，在时域中两个信号的卷积运算，等价于在复频域