2018-2019高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式导学案 新人教A版选修4-5

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1、1.2.1.绝对值三角不等式学习目标1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究1　不等式

2、a

3、－

4、b

5、≤

6、a±b

7、≤

8、a

9、＋

10、b

11、中“＝”成立的条件是怎样的？探究2　你能给出定理2的几何解释吗？探究3．

12、a＋b

13、与

14、a

15、－

16、b

17、，

18、a－b

19、与

20、a

21、－

22、b

23、及

24、a

25、＋

26、b

27、分别具有什么关系？例1(1)以下四个命题：①若a，b∈

28、R，则

29、a＋b

30、－2

31、a

32、≤

33、a－b

34、；②若

35、a－b

36、＜1，则

37、a

38、＜

39、b

40、＋1；③若

41、x

42、＜2，

43、y

44、＞3，则

45、

46、＜；④若AB≠0，则lg≥(lg

47、A

48、＋lg

49、B

50、)．其中正确的命题有(　　)A．4个B．3个C．2个D．1个(2)不等式≥1成立的充要条件是________．变式练习1．(1)若x＜5，n∈N＋，则下列不等式：①

51、xlg

52、＜5

53、lg

54、；②

55、x

56、lg＜5lg；③xlg＜5

57、lg

58、；④

59、x

60、lg＜5

61、lg

62、.其中，能够成立的有________．(2)已知

63、a

64、≠

65、b

66、，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是(　　)A

67、．m＞n　　B．m＜n　　C．m＝n　　D．m≤n例2已知a，b∈R且a≠0，求证：≥－.变式练习2．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，

68、x－a

69、＜1，求证：

70、f(x)－f(a)

71、＜2(

72、a

73、＋1)．例3已知a，b∈R，且

74、a＋b＋1

75、≤1，

76、a＋2b＋4

77、≤4.求

78、a

79、＋

80、b

81、的最大值．变式练习3．(1)求函数y＝

82、x－3

83、－

84、x＋1

85、的最大值和最小值；(2)求函数y＝

86、x－4

87、＋

88、x－3

89、的最小值．参考答案探究1【提示】　不等式

90、a

91、－

92、b

93、≤

94、a＋b

95、≤

96、a

97、＋

98、b

99、右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条

100、件是ab≤0且

101、a

102、≥

103、b

104、；不等式

105、a

106、－

107、b

108、≤

109、a－b

110、≤

111、a

112、＋

113、b

114、右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且

115、a

116、≥

117、b

118、.探究2【提示】　在数轴上，a，b，c的对应的点分别为A，B，C.当点B在点A，C之间时，

119、a－c

120、＝

121、a－b

122、＋

123、b－c

124、；当点B不在点A，C之间时，

125、a－c

126、<

127、a－b

128、＋

129、b－c

130、.探究3【提示】　

131、a

132、－

133、b

134、≤

135、a＋b

136、，

137、a

138、－

139、b

140、≤

141、a－b

142、≤

143、a

144、＋

145、b

146、．例1[解析]　(1)

147、a＋b

148、＝

149、(b－a)＋2a

150、≤

151、b－a

152、＋2

153、a

154、

155、a－b

156、＋2

157、a

158、，∴

159、

160、a＋b

161、－2

162、a

163、≤

164、a－b

165、，①正确；1＞

166、a－b

167、≥

168、a

169、－

170、b

171、，∴

172、a

173、＜

174、b

175、＋1，②正确；

176、y

177、＞3，∴＜.又∵

178、x

179、＜2，∴＜.③正确；＝(

180、A

181、2＋

182、B

183、2＋2

184、A

185、

186、B

187、)≥(2

188、A

189、

190、B

191、＋2

192、A

193、

194、B

195、)＝

196、A

197、

198、B

199、，∴2lg≥lg

200、A

201、

202、B

203、.∴lg≥(lg

204、A

205、＋lg

206、B

207、)，④正确．(2)当

208、a

209、>

210、b

211、时，有

212、a

213、－

214、b

215、>0，∴

216、a＋b

217、≥

218、

219、a

220、－

221、b

222、

223、＝

224、a

225、－

226、b

227、.∴必有≥1.即

228、a

229、>

230、b

231、是≥1成立的充分条件．当≥1时，由

232、a＋b

233、>0，必有

234、a

235、－

236、b

237、>0.即

238、a

239、>

240、b

241、，

242、故

243、a

244、>

245、b

246、是≥1成立的必要条件．故所求为：

247、a

248、>

249、b

250、.答案：(1)A　(2)

251、a

252、＞

253、b

254、变式练习1解析：(1)∵0＜＜1.∴lg＜0.由x＜5，并不能确定

255、x

256、与5的关系，∴可以否定①②③，而

257、x

258、lg＜0，④成立．(2)∵

259、a

260、－

261、b

262、≤

263、a±b

264、≤

265、a

266、＋

267、b

268、，∴m＝≤＝1，n＝≥＝1，∴m≤1≤n.例2[解析]　①若

269、a

270、＞

271、b

272、，左边＝＝≥＝.∵≤，≤，∴＋≤.∴左边≥＝右边②若

273、a

274、<

275、b

276、，左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．③若

277、a

278、＝

279、b

280、，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．变式练习2证

281、明：

282、f(x)－f(a)

283、＝

284、(x2－x＋c)－(a2－a＋c)

285、＝

286、x2－x－a2＋a

287、＝

288、(x－a)(x＋a－1)

289、＝

290、x－a

291、·

292、x＋a－1

293、＜

294、x＋a－1

295、＝

296、(x－a)＋(2a－1)

297、≤

298、x－a

299、＋

300、2a－1

301、≤

302、x－a

303、＋

304、2a

305、＋1<1＋2

306、a

307、＋1＝2(

308、a

309、＋1)．例3[解析]　

310、a＋b

311、＝

312、(a＋b＋1)－1

313、≤

314、a＋b＋1

315、＋

316、1

317、≤2，

318、a－b

319、＝

320、3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5

321、≤3

322、a＋b＋1

323、＋2

324、a＋2b＋4

325、＋5≤3＋2×4＋5＝16.①若ab≥0，则

326、a

327、＋

328、b

329、＝

330、a＋b

331、≤2；

332、②若ab＜0，则

333、a

334、＋

335、b

336、＝

337、a－b

338、≤16.而当即a＝8，b＝－8时，

339、a

340、＋

341、b

342、取得最大值，且

343、a

344、＋

345、b

346、＝

347、a－b

348、＝16.变式练习3．解：(1)法一：

349、

350、x－3

351、－

352、x＋1

353、

354、≤

355、(x－3)－(x＋1)

356、＝4，∴－4≤

357、x－3

358、－

359、x＋1

360、≤4.∴ymax＝4