lec9 连续型随机变量及其概率分布

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1、连续型随机变量及其概率分布第九讲大纲什么是连续型随机变量主要连续型随机变量及其分布介绍均匀分布指数分布伽玛分布概率密度函数对于离散型随机变量我们可以用一系列等式来描述其概率分布的情况而对于连续型的随机变量，由于变量的可能取值是某一区间内的所有值，这时我们考察事件X=x的概率显然没有什么意义，而必须了解事件ab的概率为此，引进概率密度函数的概念概率密度函数的定义对于随机变量X，如果存在非负可积函数f(x)，使对任意实数a，b，(ab)，都有：则称X为连续型的随机变量，并称f(x)为X的概率密度函数(proba

2、bilitydensityfunction,pdf)对应于离散型随机变量，f(x)为X的概率质量(mass)函数，pmf说明讨论连续型随机变量落如某一区间的概率时，不必区分是否包括区间端点随机变量落入某一区间(a，b)的概率等于曲线y=f(x)在区间(a，b)上的面积概率密度函数y=f(x)满足概率的基本性质非负性正则性这两条性质是判定函数f(x)是否为随机变量X的概率密度函数的充要条件概率分布函数设X是一连续型随机变量，则函数F(x)=Pr(X≤x)称作X的概率分布函数与我们前面学的次数或频率累积分布曲线相似也称

3、作累积分布函数，cdf对于离散型随机变量，定义同样成立对于任意实数x1

4、(x2)F(x)右连续对于连续型随机变量，F(x)处处连续对于离散型型随机变量，F(x)=Pr(X≤x)F(x)右连续分布函数与密度函数的几何含义xf(x)F(x)f(x)几种重要的连续型随机变量均匀分布指数分布伽玛分布均匀分布一个质点在某个区间作均匀运动，以等可能性落在区间内的任意一点定义：如果随机变量X的概率密度函数为：则称X服从[a，b]区间上的均匀分布，记作X~U[a，b]分布函数图示例5.38某人要搭乘一列6：00发出的火车，他打算乘出租车于5：40出发到火车站，从他家乘汽车到火车站，在最顺利的情况下要1

5、0分钟，在交通最拥挤时要50分钟，到火车站后上火车要5分钟。假定从他家到火车站汽车行驶时间X在[10，50]区间上服从均匀分布，问此人能赶上火车的概率。练习秒表最小刻度值为0.01秒。若计时精度是取最近的刻度值，求使用该表计时产生的随机误差X的概率密度函数f(x)，并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率计算均匀分布概率的简便思路：Pr(c

6、d-c

7、/

8、b-a

9、指数分布定义：如果随机变量X的概率密度函数为：则称X服从参数为l的指数分布，记作X~E(l)其分布函数为：指数分布的应用常用于描述两次事件在特

10、定的时间间隔内发生的概率，如电子元件的寿命病人候诊的时间机器发生两次故障的间隔银行自动提款机支付一次现金所花费的时间其中参数l表示在单位时间内，事件发生的次数图形pdfcdfExpondist函数语法：Expondist(x,lambda,cumulative)x：函数的数值；Lambda：参数值l；Expondist(10,0.2,TRUE)=0.864665，是一个概率分布值Expondist(10,0.2,FALSE)=0.027067，是一个概率密度值指数分布与泊松分布泊松分布中随机变量X描述的是在一段时间

11、中事件发生的次数(离散)，指数分布描述的则是两次事件发生之间的时间间隔(连续)两种分布有同样的参数，但参数的表述形式有所不同泊松分布随机变量指数分布随机变量一段时间内机器发生故障的次数机器使用至发生故障之间的时间一段时间内商店接待的顾客人数两位顾客到达一商店间隔的时间一分钟内电话交换台接到的呼唤次数电话交换台接到两次呼唤的时间间隔例5.44已知某工厂生产的笔记本电池的使用寿命X服从参数=0.4的指数分布。厂家承诺，如果电池在半年之内不能使用的话，可以免费更换。已知能够正常使用的电池的平均利润为每个200元，更换电

12、池的成本为每个600元，请问该厂家最终的平均利润为多少？我们首先需要计算一下电池的使用寿命在半年以内的概率是多少：P(X<0.5)=expondist(0.5,0.4,1)=0.1813。然后计算电池的平均（期望）利润为：200×0.8187-600×0.1813=54.96（元）伽玛分布指数分布和伽玛分布都可以用来计算等候时间、产品可靠度、排队问题等不同的