连续型随机变量及其分布

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1、第四节连续型随机变量及其分布连续型随机变量的一切可能取值是充满某个区间(,ab)，在这个区间上有无穷不可列个实数，因此描述连续型随机变量概率分布不可能再用分布律的形式来表示，而要改用概率密度来表示。下面给出概率密度的定义。一.连续型随机变量的概率密度1．定义定义1.若对于随机变量X的分布函数，存在非负函数f(x)，使得对于任意实数x有:xF()X=∫f(td)t,则称X为连续型随机变量，−∞其中f(x)称为X的概率密度函数。2．概率密度函数的基本性质由分布函数的性质即可验证任一连续型随机变量的概率密度f(x

2、)必具有下列基本性质：（1）非负性：f()x≥0+∞（2）正则性：∫fx()dx=1−∞（3）若f(x)在点x处连续，则有：F′()xf=()xx2（4）对任意实数xx12,()x1≤x2,有：P()x<

3、：⎧21cx−≤≤1fx()=⎨⎩0其它试求常数c解：由概率密度函数的正则性知：+∞+11因为：1(==∫∫fxd)x2cdx=4c，所以得：4c=1，即得；c=4−∞−1由性质（3），则在f(x)的连续点处有：F()xx+−∆∆F(x)P(x

4、的概率近似地等于f()x∆x，也称f()x∆x为概率微分。f(x)的值的大小直接影响关系到概率的大小，所以f(x)的确描述了连续型随机变量的概率分布的情况。性质（4）具有明显的几何意义：随机变量X落在小区间(,xx]上的概率，恰好等于12在区间(,xx]上由曲线yf=(x)形成的曲边梯形的面积。如下图中的阴影部分：12fx()yf=()xxx12x0图1随机变量X落在(,xx]上的概率12从而概率密度函数的正则性表明，整个曲线yf=(x)以下（x轴以上）的面积为1.二.连续型随机变量的分布函数定义2.若定义

5、在(,−∞+∞)的可积函数f(x)，满足：+∞(1)f()x≥0,(2)∫fx()dx=1,−∞x则称F()X=∫f(td)t为连续型随机变量X的分布函数.−∞可以验证F(x)具备了分布函数的性质:(1)F(x)是不减的函数；(2)0(≤≤Fx)1；(3)F(x)是（右）连续的.例2．已知随机变量X的概率密度函数为：⎧kx03≤

6、d)xkxdx+∫(2−)dx，所以得：k=26−∞03于是X的概率密度为：⎧x03≤

7、3≤<4⎪4⎪⎩14x≥7741（3）PX(1<≤)=F()−F(1)=2248由密度函数求分布函数的关键是：分布函数是一种“累积”概率，所以在计算积分时要注意积分限的合理运用。需要指出的是：虽然连续型随机变量的概率密度函数与离散型随机变量的分布律所起的作用是类似的，但它们之间还存在着明显的差别，具体有：（1）离散型随机变量X在其可能取值的点xx,,L,xL上的概率不为0，而连续型随机12na变量X在(,−∞+∞)上任一点a的概率恒为0，即PX()=a==∫f(x)dx0。a这表明：不可能事件的概率为0，但

8、概率为0的事件不一定是不可能事件；类似地，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。据此，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间。例如有：Pa(