常见连续型随机变量的概率分布

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1、第三节、常见连续型随机变量的概率分布一、均匀分布和均匀随机数称随机变量X在区间[a,b]上服从均匀分布，如果它有密度均匀分布亦称矩形分布，其分布函数有简单的表达式：若若若若若1、均匀随机数随机数指按随机顺序排列并服从一定分布律的数字，一般指服从均匀分布律的随机数，而服从其他分布律的随机数前面一般冠以分布的名称.2、均匀分布的典型应用均匀分布在统计模拟（仿真）中有重要应用．按均匀分布产生大量均匀随机数，并通过均匀随机数进行模拟；在计算机上可以迅速地产生大量随机数．利用均匀随机数还可以模拟随机抽样和各种分布的随机变量．均匀随机数还用于数值计算．例2.27设容积为一立方米的油箱外形为一正立

2、方体，容器的3/4盛有油,假设在其4个侧面或下底面的随机部位出现了一个小孔，油可经此小孔自然流出．以X表示最后剩余油面的高度，求随机变量X的分布函数F(x)．解设A={小孔在底面}，B={小孔在侧面的上1/4部分}，C={小孔在侧面的上1/4部分}，则易见A={X=0},B={X=0.75}，C={0

3、上服从均匀分布．因此，对于任意0<<0.75，有于是，最后得随机变量X的分布函数为注意，随机变量X既不是离散型的也不是连续型的，是离散－连续混合型的．若若若二、正态分布1、正态分布曲线利用微积分中函数研究的一般方法，容易绘出正态分布密度函数φ(x)——正态分布曲线（图2.7）.称随机变量X服从参数为的正态分布，记作如果它有概率密度正态分布亦称高斯(Gauss)分布．2、标准正态分布当参数μ=0,σ=1时，正态分布称做标准正态分布，记作N(0,1)．标准正态概率密度φ(x)和分布函数Ф(x)为OOxxO图2.7正态分布曲线()σ1σ2数值表附表1是标准正态分布函数Ф(x)的数值表．表中

4、对于x≥0给出了Ф(x)的值；对于x<0，利用关系式Ф(x)=1－Ф(－x)计算Ф(x)的值．附表2是标准正态分布密度函数φ(x)的数值，当x<0时利用关系式φ(x)=φ(－x)．附表3是标准正态分布N(0,1)水平α的双侧分位数的数值表．(2)一般正态分布与标准正态分布的关系对于任意实数a,b(a≠0)，如果则特别证明：设则当时数为当时数为(1)实际中，许多自然现象和社会现象，工农业生产和管理，以及科学技术和科学试验中的很多现象，都可以用正态分布律或近似地用正态分布律来描述．(2)许多重要概率分布，如统计推断中最常用的分布、分布和分布都是正态变量函数的分布．在后面几章我们将看到，凡

5、是涉及正态分布的统计推断问题，一般都有比较完满的结果．(3)大量随机变量之和的概率分布以及许多重要分布的极限分布，在一定条件下是正态分布．这正是第五章将要讲的中心极限定理的内容．中心极限定理同时揭示了产生正态分布条件，从而也说明了正态分布的广泛性的原因．3、正态分布的典型应用例2.29设随机变量X服从正态分布N(3,4)，试求常数C，使三、对数正态分布称随机变量X服从参数为的对数正态分布，记作如果它有密度对数正态分布是偏态分布（见图2.8）．许多服从偏态分布随机变量经过适当选择的变换后，就服从或近似服从正态分布，对数变换是最典型的例子之一O图2.8对数正态分布曲线xf(x)σ1σ2例

6、2.31证明四、指数分布称随机变量X服从参数为λ>0的指数分布，如果它有密度（图2.9）Ox图2.9指数分布曲线指数分布函数具有简单的数学表达式1、等待时间对于随机质点流，以v(t)表示在长为t的时间段上出现的随机点的个数；相继两个随机质点出现的时间间隔T，称做等待时间．对于强度为λ的泊松随机质点流，等待时间T服从参数为λ的指数分布．2、无后效性无后效性是指数分布的一条重要而且是特有的性质，它决定了指数分布的众多应用．现在证明：如果T服从参数为λ的指数分布，则对于任意实数s,t>0，有例2.33假设收音机的有效使用时间服从参数为0.125的指数分布．现在某人买了一台旧收音机，试求收

7、音机还能使用8年以上的概率α．解以X表示使用年限，由条件知X服从参数为0.125的指数分布．不妨假设收音机已经使用了t年以上．由指数分布的无后效性，可见