连续型随机变量机器概率分布

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1、§2.3连续型随机变量定义设X是随机变量,若存在一个非负可积函数f(x),使得其中F(x)是它的分布函数则称X是连续型r.v.，f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.)，简记为d.f.连续型r.v.的概念§2.3连续xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义p.d.f.f(x)的性质常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性r.v.的d.f.在f(x)的连续点处，f(x)描述了X在x附近单位长度的区间内取值的概率积分线段质量长度密度注意:对于连续型r.v.X,P(X=a)=0其中a是随机变量X的一个可能的取值命题连续r.v.取任一常数的概率为零强调概率为0(1)的事件未必不发生(发生)事

2、实上对于连续型r.v.Xbxf(x)axf(x)a例1已知某型号电子管的使用寿命X为连续r.v.,其d.f.为(1)求常数c(3)已知一设备装有3个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.(2)计算例1解(1)令c=1000(2)(3)设A表示一个电子管的寿命小于1500小时设在使用的最初1500小时三个电子管中损坏的个数为Y例2设为使f(x)成为某r.v.X在解由d.f.系数a,b,c必须且只需满足何条件？当有最小值上的另外由当且仅当时得所以系数a,b,c必须且只需满足下列条件可省略作业P83习题二1618习题(1)均匀分布常见的连续性随机

3、变量的分布若X的d.f.为则称X服从区间(a,b)上的均匀分布或称X服从参数为a,b的均匀分布.记作均匀分布X的分布函数为xf(x)abxF(x)ba即X落在(a,b)内任何长为d–c的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.进行大量数值计算时,若在小数点后第k位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从的r.v.随机变量应用场合例3秒表最小刻度值为0.01秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该表计时产生的随机误差X的d.f.并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率.解X等可能地取得区间所以上的任一值，则(2)指数分布若X的d.f.为则称X服从参数为的指数分布

4、记作X的分布函数为>0为常数指数分布1xF(x)0xf(x)0对于任意的0

5、(,2)为常数，正态分布亦称高斯(Gauss)分布N(-3,1.2)f(x)的性质：图形关于直线x=对称,即在x=时,f(x)取得最大值在x=±时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点曲线y=f(x)以x轴为渐近线曲线y=f(x)的图形呈单峰状f(+x)=f(-x)性质f(x)的两个参数：—位置参数即固定,对于不同的,对应的f(x)的形状不变化，只是位置不同—形状参数固定，对于不同的，f(x)的形状不同.若1<2则比x=2所对应的拐点更靠近直线x=附近值的概率更大.x=1所对应的拐点前者取Show[fn1,fn3]大小几何意义大小与曲线陡峭程

6、度成反比数据意义大小与数据分散程度成正比正态变量的条件若r.v.X①受众多相互独立的随机因素影响②每一因素的影响都是微小的③且这些正、负影响可以叠加则称X为正态r.v.可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度；学生的考试成绩；一种重要的正态分布是偶函数，分布函数记为标准正态其值有专门的表供查.——标准正态分布N(0,1)密度函数-xx对一般的正态分布：X~N(,2)其分布函数作变量代换例5设X~N(1,4),求P(0X1.6)解P380附表3例5例6已知且P(2

7、X<0).解一例6解二图解法0.2由图0.3例3原理设X~N(,2),求解一次试验中,X落入区间(-3,+3)的概率为0.9974,而超出此区间可能性很小由3原理知，当3原理标准正态分布的上分位数z设X~N(0,1),0<<1,称满足的点z为X的上分位数z常用数据例7设测量的误差X~N(7.5,100)(单位:米)问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值