3、变量(ξ,η)的每个分量都是一维随机变量，都有自己的分布函数，称之为边缘分布函数。F(x)=P{ω
4、ξ(ω)≤x}=P{ξ≤x,η≤+∝}=F(x,+∝);ξ同样：F(x)=F(+∝,y)η对二维离散型随机变量，联合分布：F(x,y)=∑∑P{ξ=x,η=y}ij{(i、j)
5、满足xi≤x,yj≤y}3.2.2联合密度函数和边缘密度函数定义3.4设F(x,y)是(ξ,η)的联合分布函数，如果存在一个函数f(x,y)，使得对于任意的x和y恒有xyF(x,y)=∫∫−∞∞−f(u,v)dudv则称f(x,y)为二维随机变量(ξ,η)的联合概率密度函数(简称密
6、度函数)，同时称(ξ,η)为二维连续型随机变量。联合密度函数具有的性质：(1)f(x,y)≥0+∞+∞(2)∫∫f(x,y)dxdy=1−∞−∞反之，满足这两个条件的函数f(x,y)都可以作为某个连续型二维随机变量的密度函数。二维随机变量(ξ,η)的每个分量也有密度函数。若ξ的边缘分布函数为F(x)，如果存在某个函数f(x)，ξξx对于任意实数x，有F(x)=f(t)dt，则称fξ(x)为ξξ∫ξ−∞的边缘密度函数。边缘密度函数与联合密度函数的关系式：+∞+∞f(x)=f(x,y)dy；f(y)=f(x,y)dxξ∫η∫−∞−∞设G是平面上的有界区域，面
7、积为A，若(ξ,η)的密度函数⎧1/A,(x,y)∈Gf(x,y)=⎨⎩0,其它则称(ξ,η)在G上服从均匀分布。例3.9设(ξ,η)在以原点为中心的单位圆上服从均匀分布，求(ξ,η)的联合密度函数，和求ξ,η的边缘密度函数。解：因x2+y2≤1的面积为π，所以联合密度函数为22⎧1/π,x+y≤1f(x,y)=⎨⎩0,其它ξ的边缘密度函数为2+∞⎧1−x1dy
8、x
9、<1⎧2x2
10、x
11、<1⎪,⎪1−,f(x)=f(x,y)dy=⎨∫−1−x2=⎨ξ∫π
12、x
13、≥1π
14、x
15、≥1−∞⎪⎩0,⎪⎩0,同理，η的边缘密度函数为+∞⎧⎪21−y2,
16、y
17、<1f(y)
18、=f(x,y)dx=⎨η∫π
19、y
20、≥1−∞⎪⎩0,例3.10设(ξ,η)的联合密度函数为e−3x−2yx0,y0⎧6,>>f(x,y)=⎨⎩0,其它试求(1)ξ和η的边缘密度函数；(2)ξ和η的联合分布函数和边缘分布函数；(3)P{(ξ,η)∈G},G如右图所示；(4)P{ξ≤η};+∞+∞⎧e−3x−2ydyx>0⎧3e−3x,x>0⎪∫6,解：(1)fξ(x)=∫f(x,y)dy=⎨0=⎨−∞⎪0,x≤0⎩0,x≤0⎩+∞e−2yy>0⎧2,同样可得，f(y)=f(x,y)dx=⎨η∫0,y≤0−∞⎩(2)(ξ,η)的联合分布函数xyxy⎧e−3u−
21、2vdudvx>0,y>0⎪∫∫6,F(x,y)=∫∫f(u,v)dudv=⎨00−∞∞−⎪⎩0,其它e−3xx>0⎧1−,ξ的边缘分布函数F(x)=F(x,+∞)=⎨ξ⎩0,x≤0e−2yy>0⎧1−,同理，η的边缘分布函数F(y)=⎨η⎩0,y≤011−x−3x−2y(3)P{(ξ,η)∈G}=∫∫f(x,y)dxdy=∫∫{6edy}dx00G−2−3=1−3e+2e(4)P{ξ≤η}=∫∫f(x,y)dxdyx≤y由于f(x,y)仅在第一象限非0，故积分区域K如右图：−3x−2yP{ξ≤η}=∫∫6edxdyK+∞y−3x−2y=∫dy∫6edx
22、=3/500例3.11设(ξ,η)的联合分布密度函数为⎧8xy,0≤x≤10,0
