连续型随机变量及其概率分布ppt课件.ppt

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1、§2-4连续型随机变量及其概率分布例1一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该盘的面积成正比，并设射击都能中靶。以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数解：（1）由题意知当x<0时（2）当时如何求k=?又由条件知射击都能中靶，圆盘靶子的半径为2故所以当时（3）当x>2时故随机变量X的分布函数为易知F(x)为连续函数，对分布函数求导数得且容易看出有下式成立在这种情况我们称X为连续型随机变量，下面给出一般定义即F(x)恰是非负连续函数f(x)在区间上的积分一.连续型随机变量及其概率密度1.定义2.2设随机变量X的分布函数为F

2、(x),如果存在一个非负可积函数f(x),使对任意的实数x，均有则称X是连续型随机变量，称f(x)是X的概率密度或密度函数，简称密度。连续型随机变量X的分布函数F(x)和密度函数f(x)统称为X的概率分布，简称X的分布。2.概率密度函数的性质（1）（2）这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.v.X的概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为1(3)P(a0且较小时,则有P(x

3、某点x处的值，反映了X在x附近单位区间内取值的概率的大小。反映了概率在x点的密集程度。f(x)较大，说明了X在x点的概率密集程度较大，随机变量在x点的附近取值的概率较大；反之，若f(x)较小，说明X在x点的密集程度较低，随机变量在x点附近取值的概率较小。(6)P(X=x0)=F(x0)F(x00)=0对连续型r.vX,有进一步有如注意：是一个概率为0的事件，而不一定是不可能事件例2设随机变量X的概率密度为求(1)常数k；（2）X的分布函数；（3）P(14时，故随机变量X的分布函数为

4、（3）例3设连续型随机变量X的分布函数为求（1）常数C值；（2）X取值于（0.3，0.7）内的概率；（3）X的密度函数的表达式。解：（1）由连续性知：即C=1（2）（3）由分布函数与密度函数的关系知二几种常见的分布(1)若随机变量X的概率密度为1.均匀分布（Uniform）则称X在[a,b]上服从均匀分布，记为X～U[a,b]（3）对于ac

5、匀分布。2指数分布若随机变量X的概率密度为其中常数>0，则称X服从参数为的指数分布，相应的分布函数为指数分布的一个最常见的应用是使用它来做各种寿命分布的近似。例如：电子元件的寿命，动物的寿命都可以近似的用指数分布来描述。服从指数分布的随机变量X有下面的性质对任意的s,t这个性质称为指数分布的“永远年青性”或“无记忆性”比如说；某元件的寿命服从指数分布，那么已知它使用了s小时无损坏的条件下，在使用t小时以上的概率，和从一开始使用时算起，它能使用t小时以上的概率是一样的。指数分布描述了无老化时的寿命分布。但“无老化”是不可能的，因而只是一种近似，对于一些寿命

6、长的元件，在初期阶段老化现象很小，这一阶段指数分布比较确切地描述了其寿命分布情况。比如人的寿命，一般，在50岁以前，由于生理的老化而死亡的因素是次要的。若排除意外因素的影响，人的寿命在这个阶段接近指数分布若考虑老化，则X服从威布尔分布3.正态分布的定义若r.vX的概率密度为记作其中和都是常数，任意，>0，则称X服从参数为和的正态分布.X的分布函数为a.正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.f(μ+c)=f(μ-c)4.正态分布密度函数图形的特点b.决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.称为位置参数称为形状

7、参数c.在x=μ处达到最大值:d.这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。当x→∞时，f(x)→0,e.为f(x)的两个拐点的横坐标。x=μσ年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标——如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.设X~,X的分布函数是5.正态分布的分布函数6.标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用和表示：注意：Φ(0)=0.5Φ(x)=1Φ(x)若X～N(0,1)7.

8、正态分布的计算对任意的实数x1，x2(x1