常见离散型随机变量的概率分布

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1、第二节、常见离散型随机变量的概率分布一、两点分布（0－1分布）只有两个可能值的随机变量X的概率分布称做两点分布：特别，若x1=0,x2=1,则称X服从参数为p的0-1分布，亦称伯努利分布．只计“成功”和“失败”两种结局的试验称做伯努利试验．设X是试验成功的次数：则X服从参数为p的0-1分布．若试验成功若试验失败例2.13以非还原无次序抽样的方式随机地Ω0={a,b,c,d,e}中取出三个元素，设X是a和b同时出现的次数，求X的概率分布．从中随机取出三个元素，其基本事件空间为二、二项分布称随机变量X服从参数为(n

2、,p)的二项分布，记作X~B(n,p)，如果有（图2.4）其中q=1－p,0

3、样设是含N个元素的总体，其中a个元素具有某种特征A，表示自Ω的n次还原随机抽样中特征A,vn出现的次数，每次抽样特征A出现的概率p=a/N，等于Ω中具有特征A的元素的比率．因此，假设Ω中具有特征A的元素的比率为P，则自Ω的n次还原随机抽样可视为n次伯努利试验，抽到具有特征A的元素为成功（成功的概率为P），否则为失败，从而成功的次数vn服从参数为(n,p)的二项分布．例2.14假设有10台设备，每台的可靠性（无故障工作的概率）为0.90，每台出现故障时需要由一人进行调整．问为保证在95%的情况下当设备出现故障时都

4、能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？解由条件知，每台设备出故障的概率为0.10．以X表示10台设备中同时出现故障的台数，则X服从参数为(10,0.10)的二项分布．假设需要安排k个人值班，则k应该满足条件：通过对不同的k试算，可以找出满足条件的k值．设k=1,2,3，有因此，至少需要安排3个人值班．例2.15假设一部设备在一个工作日因故停用的概率为0.2．一周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3个及多于3个工作日亏损2万元．求所创利润的概率分布．

5、三、超几何分布称随机变量X服从超几何分布，参数为(n,a,b)，如果假设其中1、超几何分布的典型应用假设总体Ω含个a+b元素，其中a个元素具有特征Ā，b个元素具有特征．以X表示自Ω的n次非还原抽样具有特征A出现的次数，则X服从参数为（n,a,b）的超几何分布．2、超几何分布与二项分布的关系直观上，当a+b充分大而抽样次数n相对较小时，自有限总体的非还原抽样和还原抽样的差别应相对小，因而超几何分布的概率接近二项分布的概率：其中p=a/(a+b)．例2.18假设一批产品，其中a件不合格品和b件合格品．按验收规则，对

6、于给定的n和c().在随机抽验的n件中，如果不合格品不超过c件，则接收，否则拒收．问这批产品被接受的概率为多少？解：以表示随机抽样的n件不合格产品的件数，自机取　　　件的种取法.有种不同取法，而每一种取法对应着自b件合格产品中随为种：自a件不合格产品中随机地抽取k件，总共件产品中随机的抽样取n件，导致事件的取法四、泊松分布、泊松定理和泊松流称随机变量X服从参数为的泊松分布，如果1、泊松定理假设X服从二项分布，参数年n充分大，而p充分小，且np适中，则可以利用泊松分布概率近似计算二项分布概率．２、泊松随机质点流以

7、v(t)表示在长为t的时间内出现的随机质点数．在相当广泛的情形下，随机变量v(t)服从参数为λt的泊松分布：其中λ是单位时间出现的随机质点的平均个数，称做质点流的强度．我们称服从泊松分布律的随机质点流为泊松随机质点流，简称泊松流．例2.20某种玻璃器皿在汽车运输中的破损率为2%，现在一次运送1200件，试求，(1)破损件数X的概率分布；(2)最多破损30件的概率α．解(1)为求破损件数X的概率分布，考虑n=1200次伯努利试验，每次试验成功的概率为p=0.02，可见X的概率分布是参数为的二项分布．由于n=120

8、0和p=0.02显然满足泊松定理的条件，可见近似服从参数为np=24的泊松分布．(2)最多破损30件的概率例2.22假设一日内到过某商店的顾客人数服从参数为λ的泊松分布，而每个顾客实际购货的概率为p．以X表示一日内到过该商店并且购货的人数，试求X的概率分布．解设ν为一日内到过该商店的顾客的人个数，由条件知ν服从参数为λ的泊松分布．设X为一日内到过该商店并且购货的人数．由全概率公式知，对