2.1 离散型随机变量的概率分布

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1、Chapter2(1)离散型随机变量的概率分布,随机变量的分布函数教学要求：1.理解随机变量的概念;2.理解离散型随机变量的分布律及性质;3.掌握二项分布、泊松分布;4.会应用概率分布计算有关事件的概率;5.理解随机变量分布函数的概念及性质.第二章随机变量及其分布在第一章里，我们研究了随机事件及其概率，建立了概率论中的一些基本概念，通过随机事件的概率计算使我们初步了解了如何定量描述和研究随机现象及其统计规律的基本方法．然而实际中由一个随机试验导出的随机事件是多种多样的，因此，想通过随机事件概率的计算来达

2、到了解随机现象的规律性显得很不方便．本章，我们将引进概率论中的一个重要概念—随机变量．随机变量的引进是概率论发展史上的重大事件，它使概率论的研究从随机事件转变为随机变量，使随机试验的结果数量化，这有利于我们用分析的方法来研究随机现象的统计规律．本章我们将介绍随机变量的概念、随机变量的分布及一些常见的典型分布，给出分布函数的概念及计算，最后给出随机变量函数的分布．随机事件可以采取数量的标识。如：抽样检查产品时废品的个数。掷骰子出现的点数。对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。产品为优质品记为1，次品

3、记为2，废品记为3。天气下雨记为1，不下雨记为0。§2.1随机变量及其分布一、随机变量的概念为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规律性，我们将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念.实际中试验的结果不管是哪种形式，我们总可以设法使其结果与唯一的实数对应起来，将它转化为数值型．这样，不管随机试验可能出现的结果是否为数值型，我们总可以在试验的样本空间上定义一个函数，使试验的每一个结果都与唯一的实数对应起来．(1)掷一枚骰子，观察出现的点数.引入:(2)将一枚硬币掷三次，观察出现正反面的情况,

4、用正面描述.S={正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反}引入:由此可见，随机试验的结果可以用一个变量来表示.这就是随机变量.2.定义3.注意(1)实质上，随机变量就是把样本空间进行了量化.(3)随机变量为一个实值函数，定义域为样本空间.自变量e取哪一点具有随机性，由于随机变量取值有一定的概率，对于取某一点又有统计规律性；(5)有了随机变量，随机事件都可用随机变量来表示.(6)随机变量的分类:离散型随机变量：随机变量所取的一切可能值为有限多个或可列个.连续型随机变量：随机变量所取

5、的一切可能值可以充满某个空间.其他类型随机变量.随机变量的引入，使随机事件的发生可以用随机变量的取值表示．这样，我们可以用随机变量取值的概率来研究随机事件发生的概率，从而将随机事件概率的研究转化为随机变量取值概率的研究，使我们用分析的方法来研究随机试验成为可能．随机变量是研究随机试验的有效工具．二、离散型随机变量的概率分布定义设离散型随机变量X的所有可能取值为相应的概率为称上式为随机变量X的概率分布或分布律.注意1.概率分布可用表格表示为:2.概率分布满足两个条件:以上两式即为概率分布的性质.ex1.设

6、随机变量X的分布律为Solution.ex2.从一装有4个红球，2个白球的口袋中，按以下两种方式取出5个球：(1)每取一个，记下颜色后放回，再取下一个；(2)取后不放回；求取出球中红球个数X的分布律.Solution.三、几个常用的离散型分布1.0-1分布or两点分布设随机变量X只能取两个值,它的分布律是则称X服从0-1分布或两点分布,2.伯努利试验与二项分布伯努利试验的定义:在一固定不变的条件下做一种试验（n次）(3)各次试验的结果互不影响,即相互独立.这样一串试验称为n重伯努利试验.当n=1时,称为

7、两点分布.在n重贝努利试验中A出现k次的概率公式Proof.根据独立事件概率的乘法定理，在n次试验中，事件A在指定的k次实验中发生，而在其余的n-k次试验中不发生的概率为而事件A在n次试验中发生k次，而不限定哪k次，所以应有由此有注意到:k的取值为0，1，2,…,n，于是二项分布设随机变量X的分布律是则称X服从二项分布,ex4.设每支步枪射击飞机的命中率为p=0.004，现用250支步枪同时独立地进行一次射击，求击中飞机（A）的概率.Solution.3.泊松分布(Poisson)分布设随机变量X的分布

8、律是则称X服从泊松分布,4.几何分布设随机变量X的分布律是则称X服从几何分布,注意:1.两点分布是二项分布的特殊情况，二项分布是两点分布的推广.2.二项分布以泊松分布为极限分布.ex5.设一女工照管800个纱锭，若每一个纱锭单位时间内纱线被扯断的概率为0.005，求单位时间内扯断次数不大于10的概率.Solution.设X为单位时间内扯断次数，则ex6.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以