11.4 离散型随机变量和它的概率分布

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1、一.教学内容：2.1离散型随机变量及其分布列2.2条件概率与事件的独立性 二.教学目标：1.了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列，特别是理解和掌握两种特殊的概率分布――二点分布与超几何分布，掌握它们的分布列与简单的概率计算。2.正确理解条件概率与相互独立事件的概念，初步掌握用定义判断、解决简单的概率问题；理解独立重复试验的意义，能求简单的服从二项分布的随机变量的分布列。 三.教学重点、难点：理解什么是离散型随机变量；掌握离散型随机变量的分布列的求法；对超几何分布的理解及应用；对条

2、件概率的理解以及如何求条件概率；对相互独立事件的问题的理解以及如何求相互独立事件同时发生的概率；独立重复试验及对伯努利概型和有关二项分布的问题的理解。 四.知识分析（一）离散型随机变量及其分布列1.所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果．随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．

3、2.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．3.掌握随机变量的分布列，须注意：（1）分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值，第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．（2）要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．（3）

4、分布列中P行中的概率值，一定满足两个性质，即：①，这是由概率的非负性所决定的．②P1＋P2＋…＝1，这是因为一次试验的各种结果是相斥的，而全部结果之和为一必然事件，要注意对这两个性质的理解和应用．（4）离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，是进一步研究随机试验数量特征的基础．4.超几何分布  超几何分布是概率分布的另一种形式，其计算公式是（1）要注意公式中各个数的范围：0≤m≤l，其中l为m和M中较小的一个，还要

5、抓住各个数的含义。（2）要在理解的基础上记熟公式，并能灵活应用．（3）超几何分布中随机变量X取某一个值的概率，本质上还是求这一事件发生的次数与总次数的商．（4）超几何分布中在求概率时需要求组合数，这就要用到组合数公式，还要特别注意用组合数的性质能简化计算．（5）要紧扣超几何分布的特点解决超几何分布中的有关问题． （二）条件概率与事件的独立性1.条件概率7条件概率既不同于互斥事件的概率，与古典概型也有区别．（1）要求事件B在事件A发生的条件下发生的概率P（B

6、A），需先求得A，B同时发生的概率P（A∩B），再求得事件A

7、发生的概率P（A）．则（2）每一个随机试验，都是在一定条件下进行的，条件概率则是当试验结果的一部分信息已经知道，即在原随机试验的条件上又加上一定的条件．2.事件的独立性（1）要正确理解和区分事件A与B相互独立与A与B互斥的意义．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．当A与B互斥时，A与B不一定独立；反之亦然。但当A与B独立时，与，A与，与B也独立．只有当A与B独立时，才能使用P（A∩B）＝P（A）P（B）；同时也只有当A与B互斥时，才能使用公式P（

8、A＋B）＝P（A）＋P（B）．（2）事件A与B是否具备独立性，一般都由题设条件给出．但实际问题的场合里往往要根据实际问题的性质来判定两个事件或一组事件是否相互独立．通常，诸如射击问题，若干电子元件或机器是否正常工作，有放回地抽样等场合下，对应的事件（组）认为是相互独立的．理解并运用相互独立事件的性质．如果事件A与B相互独立，那么下列各对事件：与，A与，与B也都相互独立．（3）常见事件与概率间的关系．已知两个事件A，B，它们的概率为P（A），P（B），将A，B中至少有一个发生记为事件A＋B，都发生记为事件A·B，都不发

9、生记为事件·，恰有一个发生记为事件A·＋·B，至多有一个发生记为事件。3.独立重复试验与二项分布（1）独立重复试验，又叫贝努利试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验的结果只有两种：即某事件要么发生，要么不发生，并且在任何一次试验中发生的概率都是一样的．我们主要研究在n次独立重复试验中这个事件恰好