离散型随机变量及其概率分布1

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1、§2.2离散型随机变量及其概率分布定义若随机变量X的可能取值是有限个或可列个,则称X为离散型随机变量描述X的概率特性常用概率分布或分布律XP或离散随机变量及分布律即§2.2分布律的性质非负性归一性X~或F(x)是分段阶梯函数,在X的可能取值xk处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度pk.离散随机变量及分布函数其中.解例1设汽车在开往甲地途中需经过4盏信号灯,每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过.出发地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数,求X的概率分布与p=0.4时的分布函数.令X表示例1•0•1•2•3•4xx]]]•]••kpk012340.60.2

2、40.0960.03840.0256代入•0•1•2•3•4xF(x)o•o•1•o•o•o用分布律或分布函数来计算事件的概率例2在上例中,分别用分布律与分布函数计算例2解或此式应理解为极限例3一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0

3、布凡试验只有两个结果,常用0–1分布描述,如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X=xk10Pkp1-p0

4、02.01.002<.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，分布取得最大值0.22•二项分布中最可能出现次数的定义与推导则称为最可能出现的次数当(n+1)p=整数时,在k=(n+1)p与(n+1)p–1处的概率取得最大值对固定的n、p,P(X=k)的取值呈不对称分布固定p,随着n的增大，其取值的分布趋于对称当(n+1)p整数时,在k=[(n+1)p]处的概率取得最大值例4独立射击5000次,命中率为0.001,例4解(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001

5、]=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.(2)令X表示命中次数,则X~B(5000,0.001)小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.本例启示,则对固定的k设Possion定理Poisson定理说明若X~B(n,p),则当n较大，p较小,而适中,则可以用近似公式问题如何计算？证记类似地,从装有a个白球，b个红球的袋中不放回地任取n个球,其中恰有k个白球的概率为当时，对每个n有结论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是Poisson分布解令X表示命中次数,则令此结果也可直接查P.378附表2泊松分布表得到，

6、它与用二项分布算得的结果0.9934仅相差万分之一.利用Poisson定理再求例4(2)X~B(5000,0.001)例5某厂产品不合格率为0.03,现将产品装箱,若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100个合格品,则每箱至少应装解设每箱至少应装100+n个,每箱的不合格品个数为X,则X~B(100+n,0.03)由题意3(100+n)0.03=3+0.03n取=3多少个产品？例5查Poisson分布表,=3得n+1=6,n=5故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.应用Poisson定理在实际计算中,当n20,p0.05时,可用上述公式近似计算;而当n

7、100,np10时,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015按二项分布按Possion公式kn=10p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1在Poisson定理中，由此产生了一种离散型随机变量的概率分布—Poisson分布(3)Poisson分布若其中是常数，则称X服从参数为的Poisson