数学归纳法的运用

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1、摘要：数学归纳法的运用是中学数学教学内容中的重点与难点之一。重点是因为数学归纳法使用面比较广；难点则是因为它是学生第一次接触从有限到无限的认识方式，也初步认识自然数的“后继”特征，同吋涉及到的知识和技巧较多；本文阐述了数学归纳法的定义，数学归纳法的基本形式，数学归纳法的理论依据与实质，数学归纳法运用的主意事项与技巧，数学归纳法运用的难点以及难点的突破，归纳出了数学归纳法运用的几种类型，还列举了数学归纳法的典型例题，在例题中分别用数学归纳法去证明恒等式和不等式，还可以去猜想题的结果Z后再用数学归纳法去证明猜想结果是正确的，列举了数学归纳法在几何屮运用；在例题中运用了

2、学习过的一些解题的方法,使数学归纳法的运用更加形象和淋漓尽致。『屮文关键词』：数学归纳法;运用数学归纳法的定义如果逐个考察了某些事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的。这种归纳方法叫做完全归纳法。如果考察的只是某件事的部分情况，就得出一般结论，这种归纳方法叫做不完全归纳法，这时得出的结论不一定可靠，数学问题中，有一类问题是与口然数有关的命题，因为口然数有无数多个，我们不可能就所有的门然数-一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的。然而只就部分自然数进行验证所得到的结论，即用不完全归纳法所得到的结论，是不一定可靠的。因此，就需要寻求证明这一类命题的切

3、实可靠的、比较简便的而又满足逻辑严谨性耍求的新的方法——数学归纳法。数学归纳法是用来证明某些与自然数n有关的数学命题的一种方法。证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n0时命题成立；第二步从n=k(k吋命题成立的假设出发，推证n=k+l吋命题也成立。其中第一步是验证命题的起始止确性是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性是递推的依据。两个步骤各司其职，缺一不可。数学归纳法的思想可以远推至欧几里得［前330■前275］。严格的数学归纳法是在16世纪后期才引入的。1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯［1494-1575］在他的《算术》一书

4、屮明确提出了这一方法，并且用它证了1+3+……+(2n+l)=(n+1)2等；法国著名数学家帕斯卡［1623-1662］认莫洛克斯引用了这方法，并在他的著作《三角阵算术》中运用了这一方法。因此，一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人。由于帕斯卡还没有表示任意自然数的符号，因此组合公式及证明只能用叙述的方法，1686年J•伯努利首先采用了表示任意自然数的符号，在他的名著《猜度术》［1713］中包含运用数学归纳法证题的出色例了。数学归纳法这个名称及数学归纳法的证题形式是徳・摩根L1806-1871］所捉出的。-：数学归纳法的基本形式数学归纳法是用于证明与正整数〃有关的

5、数学命题的止确性的一种严格的推理方法。主要的形式冇如下形式。-：数学归纳法的基本形式(-)第一数学归纳法设PS)是一个与正整数有关的命题，如果1,当n=(/I。w/V)吋，P(h)成立；2,假设n=k(k>n{),keN)成立,由此推得n=k+时，P(m)也成立,那么，根据1、2对一切止整数n>n0时，P(t?)成立.第一数学归纳法的理论根据是皮亚诺自然数公理，与最小数原理是等价的。(-)第二数学归纳法。设PS)是一个与正整数冇关的命题，如果1、当n=nQ(%wN)时，P(m)成立;2、假设心k(kAgkeN)成立,出此推得n=k+时，PS)也成立，那么，根据

6、1、2对一切止整数n>n()时，P(〃)成立.-：数学归纳法的其他形式(-)跳跃数学归纳法1、当归,2,3,…,/吋，P(1),P(2),P(3),…,P⑴成立，2、假设n=k时P伙)成立，由此推得n=k+l时，P®)也成立，那么，根据1、2对一切止整数时，P(〃)成立.(二)反向数学归纳法设P5)是一个与止整数有关的命题，如果1、P(〃)对无限多个正整数”成立；2、假设心R时，命题P伙)成立，则当n=k-时命题P伙-1)也成立，那么根据1、2对一切止整数兀1时，P(n)成立。三：数学归纳法的理论根据与实质与自然数有关的命题P(n)—般是由无穷多个命题P(1)

7、,P(2),…,P(n),……所组成，采用逐个论证的方法是不可能完成的。数学归纳法的依据来源丁•揭示口然数根木性质的的皮亚诺公理(peano,1858年・1932年，意大利数学家)公理，其中有一条叫做归纳公理：“如果某一正整数的集合M含有1,而且只要M含有正整数k,就一定含有k后而紧挨着的那个正整数k+1,那么M就是正整数集本身。自然数集是满足下述一组公理的集合1：1是一个自然数；2：对于N屮的每一个自然数n,都可以在N中找到一个确定的后继数n+;3：对于任何自然数n,n+Hl,即没有以1为后继数的自然数；4：任何两个自然数n与m，若m+=n+，则m=n;5：N的

8、任一子集若