数学归纳法在高中数学解题中的运用.doc

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1、__________________________________________________数学归纳法在高中数学解题中的运用作者：伍文娟摘要：数学归纳法是高中数学教学的难点之一，它作为一种常用的证明方法，集归纳、猜想和证明于一体，内容既抽象又具体，蕴含着非常深刻的数学思想，数学归纳法并不是通过对某些生活问题（比如多米诺骨牌或者火车车厢）的研究而发现的规律，再将它运用于数学问题的求解之后形成的一种数学思想方法，而是数学家们通过对一些数学问题求解方法探究，逐步提炼出来的一种特殊的数学思想方法。因此，数学归纳法产生于数

2、学本身，而不是生活中的规律在数学中的应用，数学归纳法在解题中有广泛的应用，它是一种递推的基础，第一步是证明命题n=1;第二步是假设n=k时成立，再证明n=k+1时命题页成立。这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性突破了有限，达到无限。完成了这两步，就可以断定“对任何自然数结论都成立，由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。关键词：高中数学数学归纳法引言：数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。归纳公理：由自然数组成的集合为，,若中任意自然数的后继也属于，则包

3、含了全部自然数。本文从第一数学归纳法和第二数学归纳法的原理出发，逐步阐述数学归纳法蕴含的递推数学思想，结合高中数学解题中常出现的与数学归纳法有关的题型，根据分析-假设-论证-结论的思路，总结了数学归纳法在高中数学解题方面的应用。正文：一、理论基础第一数学归纳法：设P(n)是一个关于正整数的命题,如果P(n)满足： （1）对n=1成立； （2）假设P(k)(k是正整数)成立能推出P(k+1)成立; 那么命题P(n)对一切正整数成立. 证明：设集合M={n

4、P(n)不成立}，假设M不是空集， 则M中必有最小数m，且m>1.P

5、(m-1)成立，据(2)， P(m)成立，矛盾！故命题P(n)对一切正整数成立.第二数学归纳法：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________假设是关于自然数的命题,如果满足:(1)成立；(2)假设对于所有满足的自然数成立，则也成立；那么,命题对一切自然数都成立。证明:设,又设(差集)假设不空,由自然数的最小数原理,有最小数由条件(1)知,故因此,又由条件(2)知,必有这与矛盾,所以A为空集从而,则命题对一切自然数n都成立。 运用

6、数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等，现举例数学归纳法在高中数学中经常出现的题型。二、　用数学归纳法证明不等式例1　已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，求证：对任意的n∈N*，不等式··…·>都成立．证明　由bn＝2n，得＝，收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________所以··…·＝···…·.下面用数学归纳法证明不等式··…·＝···…·>成立．(1)当n＝1时，

7、左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．(2)即··…·＝···…·>成立．(3)则当n＝k＋1时，左边＝··…··＝···…··(4)>·＝＝(5)>＝＝＝＝.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)、(2)可得不等式··…·＝···…·>对任意的n∈N*都成立．三、利用数学归纳法证明整除的问题收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________求证：能被整除，当n=k+1时，由归纳假设，以上两项都可以被整除，四、数学归纳法用于几何问

8、题的证明有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成部分。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________五、数学归纳法在数列证明中的运用高考数学中结合数列来体现数学归纳法是非常常见的题，有些数列的通项不好求，我们可以先对前面几项发现规律，进而进行猜想，继而用数学归纳法进行证明，这不失一种很好解决问题的方法。在生活上可以将此精髓应用，可以达到很好的效果。假设(1)若，求，及数列的通项公式．(

9、2)若，问：是否存在实数c使得对所有成立？证明你的结论．解：(1)变下形式有根据这个规律进行猜想有下面用数学归纳法证明以上结论：证明：1、（1）当时，结论显然成立．（2）假设时命题成立即则当时命题也成立所以2、设则收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________