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1、例谈数学归纳法的运用441700湖北省谷城县第三中学贺斌数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法•收集、分析学生使用数学归纳法的情况可以发现，学生使用数学归结法的问题主要表现在：一是不主动使用数学归纳法或不知道何时使用数学归纳法；二是对数学归纳法原理理解個化、肤浅，仅停留在“套用”层次,不能针对具休问题进行具体分析或灵活变通，以致在数学归纳法使用中出现这样或那样的错误•如果我们教师在平时的教学中能针对这些问题适时剖析一些典型例题，向学生展示数学归纳法鲜活实用而乂具有创新性的一面，我们就能调动学生使用数学归纳
2、法的积极性和自觉性，深化学生对数学归纳法的认识，提升学生分析问题和解决问题的能力.下I何举例说明Z.例1（2006全国卷II,理22）设数列｛an｝的前巾项和为S”，且方程F-anx-an=0有一个根为S〃—l,/7二1,2,3,….（I）求4,a2:（II）求｛an｝的通项公式.分析（I）e=,a?=—.1226（TT）据题设（s”—1）—a”（s“—1）—%=0,即Sfj2—2sn+1—a“s“=0.半〃》2时,将①二代入整理得昭心-2»+1=0.（）至此,解题方法的选择已不容冋避:要么继续推演变形，直至求出
3、S”:要么冷静思考，通过观察、归纳、提出猜想，借助于数学归纳法证明.前者需要有较强的整体把握能力和较为丰富的运算经验（如将（）变形为（片-1）（$心—1）-（$”-1）+（$心-1）=0,进而变形为=-1）,后者是命题者给考生预设的一•条“阳光大道”，英关键在于考生是s”Tsn_｛-1否有口主选择运用数学归纳法的意识，是否対“观察一归纳一猜想一证明”的思想方法有足够的重视（由5,=-,5.=-,53=-,猜想并证明S严丄,对绝人多数考生來说仅仅2^34x+1是“例行公事”）.例2（2006全国高中联赛，13）给定
4、整数h>2,设册（兀0，儿）是抛物线y2=nx-与直线）；=兀的一个交点。试证明对于任意正整数加，必存在整数k>2,使（昭，球）为抛物线y2=kx-与直线y=x的一个交点.分析如呆结论成立，贝J（＜，X；）为方程组一1的解，故需"=X_1,即k=x^-^.为此只需证明对于任意正整数加，k（为了表示它与有加关，以下将其表示xo为kJ也为整数即可（k》2易证）.据题设（兀0,%）为方程组＜VnX1的解，所以%o=nx0-1,即n=x0+—,rtln[y=x%为正整数知，k、为整数已不成问题.但如何rh归纳假设完成
5、递推证明，需要我们自己去建构发现匕Z间的关系.匕Z间一种比较简明的递推关系（不唯一）为k,^=nkm-(m>2)1加+1A().据此可知，仅仅验证（或说明）k.为整数还不足以奠定归纳基础.能否完成对归纳基础的验证，以及作出正确的归纳假设可以看成是对数学归纳法是否真正理解的一个指标.3例3（2004年辽宁卷，21）己知函数f（x）=ax--x2的最人值不人于一，乂当16xe—时,/（%）＞-.冷2」八丿8（1）求Q的值；（2）设0Vo】＜—,an+i=f（anYngAT,证明d“=—^—.2n+1分析⑴67=1；（
6、2）我们很难找到除数学归纳法以外的其它方法.由23（YI%+L务一二丑一一+—知，要利用函数的单调性由“ri=k”过渡到22V3丿6“〃=£+1”，需要有^＜1,以方便放缩.这样仅验证“〃=1”便不能奠能归纳基础（v＜-,即也可能大于丄），需要进一步验证5=2”方可奠定归纳基础（・・・°2＜丄）・233于是利用归纳假设证明“料=£+1”便归结为（只需）证明如下的不等式：这是一个容易证明的不等式.3(1以上证法(称为思路1)主要是基于利用二次函数f(x)=x--x2在-oo,-上的单—调性，这也是必须验证5=2
7、”的原因所在.下面两种证法仅需验证“=1”便可奠定归纳基础，但由“n=k”至ij((n=k+lff需要有强烈的目标意识和灵活的应变能力.思路2(仅展示由n”至ij’5=k+i”的主要思路.证法3也如此.)/3)1(3、6+1二匕1一牙绞=77^仆+2)。厂1一牙咳7/c+zL)(R+2)c“+1--^(1+11<一£+2(2丿1"1+2、2思路3假设n=k时,、、2(归纳假设)1<占，则当仔+1时,依兔的取值范围分情况处若0<听士则°v%i=ak若丄5<丄£+2'k+(31,则0<@+]=绞[1_空@丿1T
8、+21+2,2k+l11<2k+2k+2k+2以上三种证法充分展示了数学归纳法的灵活性，它不仅要求解题者对数学归纳法有实质性理解，而且要求解题者有扎实的数学基本功和较为丰富的解题经验.例4(2002全国卷，理22)设数列｛d“｝满足an+[=a：-nan+1,〃=1，2,3,…,(I)当q=2时，求勺心卫“并由此猜想岀｛。讣的一个通项公式;(II)当tz,>3时，证明对
