加强命题在数学归纳法中的运用

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1、加强命题在数学归纳法中的运用湖北省襄阳一中苏辉仙数学归纳法是证明关于白然数N的不等式的一种常见方法，但我们在实际解题中常会遇到，直接证明该命题不太容易，或者按常规思路去运用递推假设也不容易达到目的的现象，这时如果我们把该命题适当加强，加强命题的方式有两种:一是把原命题的结论加强，二是把命题一般化.加强后的命题更具活力，更有利于数学归纳法的证明，下而略举例说明.1,加强命题的结论例1,设几为自然数(心1),求证：*+*++-y<2[分析]这是一个与自然数有关的命题，当“=1时不等式显然成立，假设n=k(k>1)时不等式成立•即*+*++戸+伙+1)2<2+伙+])2由于彳+占>2递推难以实施

2、,思路受阻，此时需加强命题的结论,联想到nm-=0时，不防把结论加强为HT8n学归纳证明:若此式成立,则所证不等式也很容易成立，下面就用数(I)当斤=1时151不等式成立(n)假设n=k伙》1)I]寸，不等式成立即*+*+……+右52-*那么当n=k+l时,*+*++戸+丙严2-[+吋p2-芮即当心£+1时，命题也成立，综上(,),(〃)对于一切n>,加强后的命题成立，即—H—+H—52—从而方-I—+H—V2也成立.I222n2nl222n~例2,已知OvqvI，数列｛色｝满足坷=]+4,陽+]=—+a(n>l)求证:对于一切z?ni的自然数，有an>.［分析］如果只假设6/,>1,

3、而不进一步限定兔的范围，则递推难以实施，即由绞二丄很难推出％］>1，考察d］=1+Q=-~~<—-—故加强命题ak-a-a的结论为:对一切n>有1<^<—①那么递推的完成就有了铺垫,-a同时也包含了我们要证明的不等式，下面我们就用数学归纳法来证明①式(i)当川=1时，如前所述①成立.(ii)假设n=k时，有lv@v丄(0<^<1)那么当n=k+时1-(761駅—CL>—Cl—X冋时务+]—C1<—C1<成ak]ak1-a-a所以当xR+l时，①也成立，综上(i),(ii)对一切有

4、+严尤-叫+1n=l,2,3⑴设Q］=2,求672卫3，。4并由此猜的一个通项公式(II)当q时,证明对于所有斤》1有⑴勺i+2厂•、111」1+d］1+禺1+cin2［分析］此题第II问第(ii)步有难度，许多同学按常规思路认为色n〃+2,可为证明(ii)服务他们认为1+色》〃+3所以丄5丄，于是(ii)的证明转化为证明1+Q”刃+3丄+丄+……+丄5丄①成立，而此不等式的左边是不收敛的(证明1+32+3〃+32略),因而①也就是错误的，至此需寻求色更确切的限制,以加强色范围，又联想到猜测当^>3时，对于一切2“+i-+A+A+……+厶=址堂2」一（丄严<丄2223242/,+1]_丄2

5、22心1有1+67,,>2我即色>2M+,-1成立.下面我们用数学归纳法来证明加强后的0“的范围（i）当21时,因为4»3»2屮-1所以命题成立（ii）假设当心k时，命题成立即畋>2K+1-1那么当n=k+时绞+1=五_ka^+]=兔（色—切+1n（2如—1）（2*"_1—£）+1乂对（2如-1）（2如-1-灯+1与2k+2-1作差比较（2切一1）（2"-1一幻+1-（2心一1）=（2曲）2—（2+k）2k+i+1+R+1—2k+2+1=（2如）2一（4+£）2切+3+«=（2如_1）（2如_3_切因为当心时，2ul-l>023-3-£»0成立，所以（2«1_1）（2a+1-1-Z:）+

6、1>2a+2-1从而ak+]>2k+2-1此说明当n=k+命题成立综上（i）,（ii）当6Z,>3时，对于一切n>1均有色>2“-1成立在此加强的结论之上我们容易证1+色》2"所以丄5刍"1+色2,,+1.111<1]1••1+绚+1+色+……+]+%_歹+尹……戶打-百"]111=一=--（-r+,<丄即证明高考题屮的第ii第⑴）问.!_122222,把命题一般化例4,若都是大于1的实数，求证；（1+q）（1+色）（1+色）（1+）（1+）516（46?2。3。4。5+•）[分析

7、用作差法,分析法，综合法等常规方法证明显然很困难，联想到系数16=25-一tanka・tana，不防将问题

8、一般化为若坷,偽,……an,（n>2）都是大于1.则（1+q）（1+色）（1+陽）S2,,_,（口心％+1）下面我们用数学归纳法证明：⑴当斤=2时，由（1+色）（1+«2）<2（叩2+1）得（马一W2-1）>0而此式显然成立（ii）假设n=k时命题成立，即有（1+再）（1+°2）……（1+@）52宀（加2……$+1）那么当2£+1时，由归纳假设及n=2时的结论得出（1+坷）（1+。2）（1+兔）（1+兔+1）5（。禺2+