构造加强命题利用数学归纳法证明不等式例析.doc

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1、构造加强命题利用数学归纳法证明不等式例析438300湖北省麻城市第一中学丁评虎【摘要】笔者发现：不少一线教师不会利用数学归纳法证明文中此类不等式，他们甚至习惯于武断的帮学生下结论，这对学生当然是误导．本文拟通过一道典型例题来揭示此类问题的一般解题思路，供同仁们参考．【关键词】构造加强命题数学归纳法1.提出问题不久前笔者有幸担任某地级市组织的青年教师优质课竞赛评委．本次活动中高二组老师参赛的课题都是“数学归纳法”．一位老师在结束时提出这么一个问题供同学们课后思考：“任何关于正整数的数学命题都可以用数学归纳法证明吗？例如：

2、求证：+++…+＜（n∈N*）”我感到很奇怪，就在课后与这位老师交流，他解释说利用数学归纳法无法证明这个不等式．我认为，这个问题是没有价值的．因为任何一种方法都不是万能的，都有它的适用范围．考虑到高中生的心理特征，这种设问方法对于启发思维是没有帮助的，而因为不等式右边是常数就断言利用数学归纳法无法证明这个不等式更是值得商榷的．2.解决问题直接利用数学归纳法证明这个不等式当然是不现实的，但我们可以先证明加强命题，即：+++…+＜-（＞0）其中是关于n的一个函数，再根据-＜证明此不等式．因此，问题的关键在于怎样寻找，而寻找

3、关键在于发现、分析不等式的特征：不等式左边最后一项为，而当n=1时，不等式即为＜，注意到＜-也成立．因此，我们不防猜想如下结论再用数学归纳法证明：+++…+＜-证明：（1）当n=1时不等式显然成立.（2）假设n=k时不等式成立，即+++…+＜-当n=k+1时，+++…++＜-+而要证明-+＜-也就是要证明＜而这个不等式是不成立的．上述方法固然无效，但这种思路对于我们解决问题是有启发意义的：对于不等式的左边，从n=k到n=k+1时，增量为；而不等式的右边增量为，因此，我们可以考虑的分母为关于n的一次式．当n=1时，原不等

4、式为＜，而＜-也成立，因此，可以猜想=，即先证明不等式：+++…+＜-由于n=1时不等式显然成立，我们重点研究从n=k到n=k+1这一步.从n=k到n=k+1时，左边增量仍为，右边增量为-而＜-（k+8）(k+7)＜（2k+3）2k2+15k+56＜4k2+12k+93k2-3k-47＜0易证：当k≥5时，3k2-3k-47＞0成立，由此，我们易证当k≥5时，不等式+++…+＜-成立，从而易证当k≥5时，原不等式成立，进而易证得原不等式成立．至此，我们可下结论：利用数学归纳法是可以证明原不等式的．而利用上述方法，需单独

5、讨论n＜5的情形．那么，能否避免讨论呢？答案是肯定的．因为根据上述解题思路，的选择面比较大，除外，还可以为，，……考虑到原不等式右边为,我们不妨选.下面给予证明：（1）当n=1时，不等式显然成立（2）假设为n=k时不等式成立，即+++…+＜-当n=k+1时，+++…++＜--由(4k+6)2＞(4k+4)(4k+8)知＜即＜-即--＜-从而n=k+1时，结论成立结合（1）（2）知对（n∈N*）有+++…+＜-成立至此，我们找到了比较简洁的证明不等式的方法，需要补充的是，上述证明方法中用到了(2n+3)2＞(2n+2)(

6、2n+4)，这其实是一种很常见的放缩方法．3.思考本次参赛的教师都是40岁以内的中青年教师，教龄都不少于5年，他们正处在迅速成长的关键时期，也都积极上进.但我清醒地感到其中也可能存在一定的隐患甚至是危机．例如：他们往往表现出了很好的“表演”（或者说“演绎”）才能；相对而言，对于教学内容和教学方法却又往往缺乏自己的独立思考与分析，更不能说已经达到了深刻的理解．另外，一些同志又多少表现出了急功近利的倾向，与此直接相对照的则是基本功的不足，或者说专业素养的缺乏．因此，他们还应切实加强学习！我以为,青年教师首先要做到的是:多看

7、书、多做题,特别是做高考试题和竞赛试题.这对于提高数学能力、构建方法体系、优化思维品质都是大有帮助的!老师还是应该走入题海!这样既可以实现见多识广,又能作到深思熟虑!才能有效帮助学生走出题海!事实上，笔者所提供的方法并不神秘．例（2008年辽宁卷理科第21题第2小题）已知数列{an}{bn}满足an=n(n+1),bn=(n+1)2求证：当n∈N*时，++…+＜证明：n=1时不等式显然成立，再利用数学归纳法，证明当n≥2时，不等式++…+＜-成立，综合可得原不等式成立（证明过程略）