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1、数学归纳法证明不等式例1.用数学归纳法证明不等式.证：⑴当时,上式左边右边,不等式成立.⑵设当时,不等式成立,即有.那么,当时,=例2已知x>-1，且x¹0，nÎN，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x¹0，∴1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即(1+x)k>1+kx当n=k+1时，因为x>-1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+1右边=1+(k+1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．这就是说，原不等式
2、当n=k+1时也成立．根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.例3证明:如果为正整数)个正数的乘积,那么它们的和.证明:⑴当时,有，命题成立.⑵设当时，命题成立，即若个正数的乘积,那么它们的和.那么当时,已知个正数满足.若个正数都相等,则它们都是1.其和为,命题成立.若这个正数不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数(否则与矛盾).不妨设.例4证明:证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于故不等式成立.(2)假设n=k()时命题成立,即则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.例5.当时,求证:证
3、：（1）6、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.6解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k=(6k+27)·3k－(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k
4、－2(k≥2)f(k+1)能被36整除∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C7..观察下列式子：…则可归纳出_________.解析：(n∈N)(n∈N)8、已知,,则的值分别为_________，由此猜想_________.、、、9、用数学归纳法证明:能被8整除.证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数.那么:因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n
5、,An能被8整除.10、用数学归纳法证明证明：1°当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。2°假设当n=k时，等式成立，即。那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立。综上所述，等式对任何自然数n都成立。11、.用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵4
6、2k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N时，42n+1+3n+2能被13整除.12、求证：证明：（1）当n=2时，右边=，不等式成立．（2）假设当时命题成立，即．则当时，所以则当时，不等式也成立．由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．13、已知，，用数学归纳法证明：证明：（1）当n=2时，，∴命题成立．（2）假设当时命题成立，即．则当时，所以则当时，不等式也成立．由（1），（2）可知，原不等式对一切均成立．14、.求证：用数学归纳法证明．证明：（1）当n=1时，，不等式成立；当n=2时，，不等式成立
7、；当n=3时，，不等式成立．（2）假设当时不等式成立，即．则当时，，∵，∴，（）从而，∴．即当时，不等式也成立．由（1），（2）可知，对一切都成立．
