数学归纳法证明不等式

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1、数学归纳法证明不等式从前有这么一个故事：有人卖了一匹马，得156元钱。但是买主买了以后又翻悔了，退还给卖主，说：“这价钱买你这匹马不合算，这马根本不值这么多钱。于是卖主提出新的条件：“如果你嫌这马价钱高，那你就只买它马蹄铁上的钉子好了，马可以白送。每一马蹄铁上有6个钉子。第一个钉子只要给我分钱，第二个钉子分钱，第二个钉子1分钱，这样类推下去。”买主被这廉价打动了心，想白得一匹马，就接受了卖主的条件，心里估计着钉子总共花不了10元钱。试问买主究竟要破费多少钱呢？链接生活小学的数数、找一列数的规律、高中等差数列和等比数列通项公式的推导过程等等，都蕴含着数学归纳法的萌芽和基础

2、.多米诺骨牌游戏，生物“重演律”告诉我们，生物的个体发育是其系统发育的简单而迅速的重演.链接知识本讲的核心内容是用数学归纳法证明不等式。对于涉及正整数（可以取无限多个值）的不等式，数学归纳法是非常有用的研究工具.本讲分为两部分。第一部分的重点是介绍数学归纳法，这也可以看作本讲的基础知识.第二部分的重点是用数学归纳法证明不等式，这些不等式涉及到数列、三角函数、二项式乘方等方面，其中包括贝努力不等式这个经典的不等式.链接高考数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考考查的热点内容之一.高考试题中不但要求能用数学归纳法去证明现成的结

3、论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考察，及要求归纳发现结论，有要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，显得特别重要.试题内容所占分值约6分左右.数学归纳法证明不等式互动思维导图22基础知识和基本方法221数学归纳法的基本原理、步骤和使用范围(1)在数学里，常用的推理方法可分为演绎法和归纳法，演绎法一般到特殊，归纳法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法。在归纳时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么结论是可靠的.这种归纳法叫完全归纳法（通常也叫枚举法）如果考察的只是某

4、件事的部分情况，就得出一般结论，这种归纳法叫完全归纳法.这时得出的结论不一定可靠。数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题，因为自然数有无限多个，我们不可能就所有的自然数一一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的.然而只就部分自然数进行验证所得到的结论，是不一定可靠的.例如一个数列的通项公式是容易验证=1，=1，=1，=1，如果由此作出结论——对于任何+,=1都成立，那是错误的.事实上，=25≠1.因此，就需要寻求证明这一类命题的一种切实可行、比较简便而又满足逻辑严谨性要求的新的方法——数学归纳法.(2)数学归纳法是一种重要的数学证明方法，其中递推思想起主要作用。形象地

5、说，多米诺骨牌游戏是递推思想的一个模型，数学归纳法的基本原理相当于有无限多张牌的多米诺骨牌游戏，其核心是归纳递推.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用一下两个步骤：（1）证明当=（例如=1或2等）时命题成立；（2）假设当=（，且≥）时命题成立，证明当=+1时命题也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于不小于所有自然数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.自然数公理（皮亚诺公理）中的“归纳公理”是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两步证明恰是验证这条公理所说的两个性质.数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题.这里的是任

6、意的正整数，它可取无限多个值.附录：下面是自然数的皮亚诺公理，供有兴趣的同学阅读.任何一个象下面所说的非空集合N的元素叫做自然数，在这个集合中的某些元素a与b之间存在着一种基本关系：数b是数a后面的一个“直接后续”数，并且满足下列公理：①1是一个自然数；②在自然数集合中，每个自然数a有一个确定“直接后续”数a’;③a’≠1,即1不是任何自然数的“直接后续”数；④由a’=b’推出a=b,这就是说，每个自然数只能是另一个自然数的“直接后续”数；⑤设M是自然数的一个集合，如果它具有下列性质：（Ⅰ）自然数1属于M,(Ⅱ)如果自然数a属于M，那么它的一个“直接后续”数a’也属于M

7、，则集合M包含一切自然数.其中第5条公理又叫做归纳公理，它是数学归纳法的依据.(3)数学归纳法可以证明与自然数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数的命题都可以用数学归纳法证明.例如用数学归纳法证明（1+）(N)的单调性就难以实现.一般来说，从=到=+1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.例1-1下列式子对于任意的N都成立吗？①+=。②=答：经检验，当=1,2,3时①②均成立，但=4时，就不成立了。例1-2用数学归纳法证明：“1+++…+=(≠1,”.在验证=1成立时，左边计算的