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1、人教版选修4—5不等式选讲课题：用数学归纳法证明不等式教学目标：1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。重点、难点：1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。教学过程：一、复习导入：1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学
2、归纳法的步骤？（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。（2）步骤：1）归纳奠基;2）归纳递推。2、作业讲评：（出示小黑板）习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)如采用下面的证法，对吗？证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立，即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)当n=k+1时，2+4+6+8+……+2k+2(k+1)∴n=k+1时，等式成立。由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。（1）学生思考讨论。（2）师
3、生总结：1）不正确2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。二、新知探究明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。(出示小黑板)例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。｛an=n2｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81,……｛bn=2n｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512,……（1）学生观察思考（2）师生分析（3）解：从第5项起，an＜bn，即n²＜2n,n∈N+（n≥5）?你能说出
4、证明中每一步的理由吗？证明：（1）当 n=5时，有52＜25，命题成立。（2）假设当n=k（k≥5）时命题成立即k2＜2k当n=k+1时，因为（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1所以，（k+1）2＜2k+1即n=k+1时，命题成立。由（1）（2）可知n²＜2n（n∈N+，n≥5）学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k2②归纳假设：2k2<2×2k例2证明不等式│Sinnθ│≤n│Sinθ│(n∈N+)分析：这
5、是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即有│Sinkθ│≤k│Sinθ│当n=k+1时，?你能说出证明中每一步的理由吗？│Sin（k+1）θ│=│SinkθCosθ+CoskθSinθ│≤│SinkθCosθ│+│CoskθSinθ│=│Sinkθ││Cosθ│+│Coskθ││Sinθ│≤│Sinkθ│+│Sinθ│≤k│Sinθ│+│
6、Sinθ│=（k+1）│Sinθ│所以当n=k+1时，不等式也成立。由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。学生思考、小组讨论：①绝对值不等式:│a+b│≤│a│+│b│②三角函数的有界性：│Sinθ│≤1,│Cosθ│≤1③三角函数的两角和公式。（板书）例3证明贝努力（Bernoulli）不等式:如果x是实数且x＞-1，x≠0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）n＞1+nx分析：①贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n）②哪个字母与自然数有关？(n是大于1的自然是数)（板书）证：（1）当n=2时，左
7、边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）k＞1+kx．师：现在要证的目标是（1+x）k+1＞1+（k+1）x，请同学考虑．生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）k+1=（1+x）k（1+x），因为x＞-1（已知），所以1+x＞0于
8、是（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）．师：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．提问：证明不等式的基本方法有哪些？生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此
