浅谈微分中值定理的应用

《浅谈微分中值定理的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第27卷第6期2011年12月大学数学COLLEGEMATHEMATICSVol.27.No.6Dec.2011一个条件收敛级数重排项后的和唐建国（惠州学院数学系，广东惠州516007>［播要〕研究了以自储数倒数所构成的一个典型交错级数更排项后所得级数的收敘性及求和问题.证明了当其正项和负项均按由小到大的頼序挣列后.毎出现尸个正项肩面接f个负项的卅列所得到的级数收敛.并利用强级数求得了巫拌项后级数的和.［关槿词］级数；篇级如条件收敘,敢排项；级救的和［中圈分类号〕0173［文献标识鶴］C［文拿縮号］16721454（2011）06-0130-051引言级数是数学分析的車咚研究内容，一般教材上

2、将其分为数项级数、函数项级数、誓级数和傅里叶级数它在计算数学、偏微分方程数值解以及电子信号处理中应用十分广泛，瓦中数项级数是级数理论的基础•数项级数分为收敛和发散级数，收敛级数又分为条件收敛和绝对收敛级数，它们在性质上差异较大.主要衷现在t绝对收敛级数能象有限个数的和一样满足交换律・而条件收敛级数不满足交换律；绝对收敛级数之积能象有限个数和的积一样，展开成交叉乘积项之和，且交叉乘积项按任意顺序排列后所得级数均收敛，其和均相等，但条件收敛级数不满足这一性质•总之，绝对收敛级数更多地具有有限个数加法乘法的性质•而条件收敛级数却与有限个数的运算性质有很大不同•不仅如此.条件收敛级数交换项后，各种情

3、形都有可能出现，即重排一个条件收敛级数的项以后.既可使其发散.也可使其收敛•还可证明，该级数改变顺序后可使其收敛到任何一实数.本文以一个常用的条件收敛级数为例研究其项按某些次序排列后所得级数的求和问题.考虑典型的交错级数52（—1）1丄=1—+£-£+…+（-i）i丄+…•（1）~n234n这是一个条件收敛级数，瓦和为In2,即ln2=1—寺十十吉一*+斗一吉+・・・+（_1〉一++・・・・⑵在文献［1］中给出了以下推导，在（2〉式两边同乘以1/2,得到丄“2=丄一丄亠丄一丄+丄+」］亠（一1L丄j_....⑶2InZ2468十1012十1416'十（°2〃十•⑶将（2〉式与〈3）式两边分别

4、相加，得-^-lr）2=1+—■-i--I—-—

5、———+-^―—-4-••・（4）2325749116严格地说.在由（2）式与（3）式相加导出（4）武的过稈中.需要交换项的顺序.由于条件收敛级数不满足交换律.这样交换项的次序后所得的结果可能会出现问题，这一点将从以下的推导中得到印证.类似地，将(3)式与(4)式两边分别相加•得2ln2=1亠丄亠丄丰+丄+丄亠丄+丄—丄+…(5)ln十3十5十7291113154-®将(4)式两边同乘以1/2后得到42'64110^14818'2212十*若仿以上做法，将(4)式与(6)式两边分别相加•得—In2=1+丄+—•+丄一——

6、---—丄+♦♦♦(

7、7)4十357291113154这显然导致了矛盾.(5〉式与(7〉式中同一个级数按不同的方法计算，得到两个不同的结果.其中必定有一个结果是错误的，或两个都不对.这是由条件收敛级数交换项的顺序造成的.究竟正确的结果是什么，本文将回答这一问题.2交换次序后级数和的求法现在研究交换项的次序后级数(1)和的求法.考虑如下的次序问题：正项负项分别按由小到大的順序排列，正项与负项的间隔个数相同，即每出现r个正项后面接一个负项•记这样的级数为/(r)=1+丄+H1?111——丄+・・♦32r-122尸+12”+34厂一14十先研究r-2的悄形，即级数(8)/(2)=1+丄一丄十丄+丄一丄+丄+丄—丄+…3

8、25749116的求和问题.考虑级数(9)加括号后所得的级数$=S(4nL3H~4n-l_'显然这超一个正项级数，由它构作相应的褓级数(9)(10)S22£(応严+右严-討)・显然民=S2(l)・下面求S2(x)的和備数，为此，在(11)式两边求导，可得DO")=£(严+旷H-］在(12)式两边积分•可得2严)H1±三1_S4(x)才+*i“(i〜”)+c.(11)(12)(13)(14)(15)熬理后町得S3=号1応(1十攵)(1+工+++<)]+C.由St(0)n0得C=0■所以1(2)—8:(1)='yln8=#ln2・这一结果与文献［1］的结果完全相同.这说明以上方法是行之有效的.再

9、考虑厂=4的悄形.这是本文开头提岀的何题，即级数1(4)=1+丄+丄+丄一丄+丄十丄+丄+丄+…357291113154的求和问题.记“4)加括号后的级数为132大学數学第27卷构作其相应的黑级数S3-郭缶严+缶严十缶严+注广-紀)•(⑻显然S.=S4(l)・在(18)式两边求导.得8S；(工)=S(=1+龙I+工I+工―？一4云1)=&云十“_心=宀一严,(19)1工1—£1—X*由此可得S*(x)=夕ln