微分中值定理的应用

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1、一、用微分中值定理证明函数恒等式1.欲证：当时，有恒等式解题程序：⑴验证，由此推出;⑵取区间内的一个特殊值确定常数：若,则有，即。2.欲证两个函数恒等：当时，有若令，这时化为1中的情形。3.用拉格朗日中值定理证明函数恒等式如证明二、直接用微分中值定理证明中值等式所谓中值等式或中值不等式，就是证明等式或不等式仅在区间内的一点或至少一点成立。证明中值等式须用微分中值定理，泰勒公式或积分中值定理。下述情况的中值等式，一般需用微分中值定理证明⑴若题设函数或与在区间上连续，在区间内可导（或隐含），欲证：至少存在一点或存在，使一个等式成立，且等式

2、中含有或等。若欲证：存在惟一一点使等式成立，除证明存在之外，一般尚需用反证法或函数的单调性证明惟一性。直接用微分中值定理证明等式的解题思路：⑴若欲证等式本身就是或可改写成中值定理的形式，则可直接选用相应的微分中值定理：若存在，使成立的形式，则用洛尔定理；若形如的等式，则用拉格朗日中值定理。⑵若欲证等式不是上述⑴的情形，应先将欲证等式恒等变形，使不含的式子分离到等式左端，含的式子分离到等式右端；然后设法将左端写成或形式，并计算或，判断它是否等于左端；若相等，便可用相应的微分中值定理证明。⑶若欲证：存在，且欲证等式中含时，一般需两次用微分

3、中值定理，这时，可将含的項和含的项分写在等式两端，分别观察等式两端，以便应用微分中值定理。⑷若题设二阶可导，或欲证等式中含有时须两次用微分中值定理。用泰勒公式证明中值等式的解题思路：若题设给出函数若干个点的函数值和（或）导数值，而欲证等式中含有二阶或二阶以上的导数时，可考虑用泰勒公式证明。一、用选取辅助函数的方法证明中值等式解题原理用罗尔定理。解题思路导数公式与运算法则的逆向思维，即由已知导函数，推出函数。直接观察法解题程序：首先，将欲证等式中的换成，并将其写成的形式；其次，直接观察的表达式，按上述的逆向思维确定辅助函数的表达式；再次

4、，验证在给定的区间上是否满足罗尔定理的条件：若满足，便可推出；若不满足，一般情况是依据题设条件，利用函数的零点定理或介值定理在内找到一点，使在区间或上满足罗尔定理的条件，从而推出；最后，由还原到欲证等式。选取的辅助函数的几种类型：①选取代数和，即②选取两个函数的乘积，即。特别地ⅰ）选取；ⅱ）选取；ⅲ）选取。①选取两个函数的商，即。特别地选取。②选取。③选取。特别地ⅰ）选取；ⅱ）选取；ⅲ）选取；ⅴ）选取；ⅵ）选取。一、用微分中值定理证明中值不等式解题思路及解题程序：⑴证明含的不等式，一般用拉格朗日中值定理。若题设在上连续，在可导，且显设

5、或隐设存在，使或，则在和（或）上用定理。⑵证明含的不等式，依据题设条件，有时从拉格朗日中值定理入手，有时从罗尔定理入手。便得到含和的两个式子，然后就归结到上述⑴的情形。⑶证明含的不等式，也可用泰勒公式。若在上可按一阶泰勒公式展开，关键是选择展开点。一般是将和在点展开，然后由这两个展开式推出欲证不等式。证明含的不等式，可类推。一、用微分中值定理证明不等式1.用微分中值定理证明不等式的解题思路先由拉格朗日中值定理或柯西中值定理得到等式，然后再依据题设条件过渡到不等式。当不等式中的函数为初等函数时，以拉格朗日中值定理为例来说明解题程序：⑴根

6、据所要证明的不等式恰当地选取辅助函数和区间。⑵由定理得等式。⑶考察导数的符号或有界性，有时须考察的符号来判定的增减性，由等式过渡到不等式。根据欲证不等式的需要，常有一下情形：①若或，则得不等式或。特别地，当或有或。②当时，若或，则得到不等式或。当不等式中的函数为抽象函数时，若题设具有微分中值定理的条件，可类似地推证。2.用泰勒公式证明不等式的解题思路当不等式所含的项数较多，特别是题设有高阶导数时，可考虑用泰勒公式，然后再由等式过渡到不等式。一、用函数或曲线的性态证明不等式1.用函数的单调性、极值证明不等式2.用函数的最值证明不等式3.

7、用函数图形的凹凸证明不等式解题思路根据曲线凹凸性定义及性质设函数在区间内二阶可导，且。⑴对内任意两个不同的点，有，⑵对内任意个不同的点，且，有；⑶对内任意两个点，有。