再谈微分中值定理的应用

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1、再谈微分中值定理的应用:微分中值定理是微积分学的重要结论之一。它不仅沟通了函数与其导数的关系，也是微分学理论应用中较为广泛的定理。在一般教科书中，微分中值定理的应用举例较少，本文根据多年在高等数学教学中的经验，总结和归纳了微分中值定理的一些应用方法。　　关键词:中值定理辅助函数连续函数　　定理1：（Rolle中值定理）若函数　　i)在闭区间上连续；　　ii)在开区间内可导；　　iii)闭区间,　　则在内至少存在一点，使得.　　定理2：（Lagrange中值定理）　　若函数　　i)在闭区间上连续；

2、　　ii)在开区间内可导；　　则在内至少存在一点，使得.　　定理3：（Cauchy中值定理）若函数　　i)在闭区间上连续；　　ii)在开区间内可导；　　iii)在开区间内不同时为零；　　iv)，　　则在内至少存在一点，使得.　　例：求极限.　　解：　　构造函数　　则　　应用Lagrange定理　　函数在上连续，在上可导，　　则使得　　即　　而，当时，　　故.　　例：设为实数，求证方程在内至少有一个根.　　证：令　　则　　显然函数在上满足Rolle中值定理的条件　　从而存在，使得　　即　　故方程至

3、少有一个根.　　我们在应用中值定理时，往往引入某连续函数，使之在某区间上满足中值定理的条件.　　例：求极限.　　解：引入函数　　显然函数在区间上满足Lagrange中值定理的条件　　所以存在使得　　由于，当时，　　所以原极限.　　本例我们也可对用洛比达（L,Hospital）法则求解，但较之用中值定理复杂得多。　　在应用中值定理时，辅助函数的构造是解决问题的关键。　　例：如果，试证，其中在之间.　　证：我们不妨设，在上　　显然函数在上满足Rolle中值定理的条件，　　从而存在，使得　　那么，我们

4、是怎么来构造的呢？　　由Cauchy中值定理的结论：　　把式中的换成，然后变形为：　　积分可得　　此处令，　　得　　从而构造出函数　　.　　本例也可用Cauchy中值定理来证，更为简单直接。　　证：我们不妨设，并在上对函数应用Cauchy中值定理，有，由此得.