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1、学年论丈目浅谈几个微分学基本定理之间的联系论文提要微分中值定理（Rolle定理‘Lagrange中值定理，Cauchy中值定理、泰勒中值定理）是微分学的棊木定理，是我们将函数在两个（可以相距很远）点上的函数值Z差，也就是函数的增量,与函数在某点的导数值联系起來。函数的导数是一个局部性的概念，通过中值定理，就可以川导数研究两数在大范围上的性质。所以微分中值定理在微积分中山冇非常重要的地位，冇着广泛的应用，可以说，它是微分学的核心。浅谈几个微分学基本定理之间的联系郑琳摘要：微分中值定理是整个微分学的理论
2、基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，在进行公式推导与定理证明等许多方面都有重要的应用。本文主要介绍几个微分中值定理，及它们之间的联系；掌握这几个中值定理的推导过程，及辨别它们的区别。关键词：微分；中值定理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；联系微分屮值泄理是反映函数和导数间联系的重要泄理，是利用导数的局部性质推断函数整体性质的工具，也是微积分学的理论基础.它包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)定理以及泰勒公式,其中以拉格朗日中值定理
3、为中心、罗尔定理为基础.一、定理内容1、罗尔(Rolle)中值定理若函数/(Q满足如下条件：(i)在闭区间S,饲上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导；(iii)/(^)=/(b)；则在(q,/?)内至少有一点歹，使得广(§)=0・注：定理中的的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.几何意义：条件(1)说明曲线y=/(兀)在A(d,/(d))和B(bJ(b))Z间是连续曲线[包括点A和点B]・条件(2)说明曲线y=.f(x)在A,B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线[不包括点A和B
4、]条件(3)说明曲线y=/(x)在端点A和B处纵朋标相等。结论说明曲线y=/(兀)在A点和B点之间［不包括点A和B］至少有一点，它的切线平行于尢轴。2、拉格朗日(Lagrange)中值定理:设函数/(兀)满足：(i)在闭区间［a,切上连续；(ii)在开区间(a,b)内可导；则在⑺力)内至少有一点歹，使得先忤2R儿何意义：条件(1)说明曲线y=f(x)在点A(a,/(a))和点B(b,/(b))之间［包插点A和点B］是连续曲线。条件(2)说明Illi线y=/(x)［不包括点A和点B］是光滑曲线。结论说
5、明曲线y=/(x)在A、B之间［不包括点A和点B］至少有一点，它的切线与割线AB是平行的。推论1若/(兀)在(a,b)内口J导，冃.广(x)三0,则/(兀)在(a,b)内为常数。推论2若/(x),g(x)在(tz,b)内皆可导，且广(兀)三g©),则在(a,b)内/(x)=g(x)+c‘其中C为一个常数。推论3设函数/在点兀()的某临域卩(兀)内连续，在U°(x())内可导，n极限limfx)存在,则/在点兀°可导,且fr(xQ)=limfr(x)3、柯西中值定理：设函数/（兀）和gO）满足：（i
6、）在闭区间［。,刃上都连续；（ii）在开区间@,b）内都可导;（iii）广⑴g'（x）不同时为零；（iv）g（a）Hg（b）,则有使得/（b）-/⑺二广⑷F（b）-F（a）—g‘©Dh=g（f）rq柯西中值定理的几何意义：考虑曲线肋的参数方程｛:；ZG€6b,点b=/G）JM（g（d），/@）），点B（g（b）,.f（方））
7、lll线肋上是连续Illi线，除端点处是光滑Illi线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线殛。4、泰勒定理（泰勒公式）定理1（皮亚诺余项的川阶泰勒公式）设/（兀）在兀（
8、）处有"阶导数，则冇公式=f（无））+/_兀（））+/（兀_X（））~+…+~~（兀_X（））"+Rn（兀）1!2!n（Xf°）其中心（兀）=O［（兀-兀0）"］（兀TXo）称为皮亚诺余项o前面求极限方法屮用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的所以对常川的初等函数如^,sinx,cosx,ln(14-x)和(1+兀)"为实常数)等的〃阶泰勒公式都要熟记。定理2(拉格朗日余项的n阶泰勒公式)设/(x)在包含兀0的区间(a,b)内有/?+1阶导数，在［a,b］上有斤阶连续导数，则对xe［a,b
9、］,有公式(§在兀。与xZ间)称为拉格朗U余项上面展开式称为以兀()为中心的"阶泰勒公式。当心=0时，也称为n阶麦克劳林公式。5、两种基本的未定式：一,一洛必达法则：若函数/(x)和g(x)满足：(1)lim/(x)=0,limg(兀)=0；XT%XTXq(2)在［/°(心)内可导且”(兀)工0；(3)lim了⑴二A(或oo)；xfg©)注意:⑴洛必达法则中的条件(1)改为lim/(x)=oo,limg(x)=oo,则X—XT*o为竺型耒定式，则法则仍成立.⑵法则
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