浅谈微分中值定理及其相互关系

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1、从本学科出发，应着重选对国民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果浅谈微分中值定理及其相互关系　　在日常工作中，我们经常要讨论由导数来推断函数所应具有的性质。微分中值定理正是用来解决这一问题的有效工具。求极值与最值，用洛必塔法则求极限等一些问题中，微分中值定理占有重要的地位了，下面我们就以三个重要的微分中值定理加以讨论、比较、总结。　　关键词：微分中值定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理关系　　微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。　　首先，我们回忆　　罗

2、尔定理　　若函数满足：1.在闭区间[a,b]连续。2.在开区间(a,b)可导。(b)=f(a)。　　则至少存在一点使　　证明:f(x)在连续[a,b]，所以有最大值M与最小值m.　　若m=M，则y=f(x)在(a,b)上为常函数。f'(x)=0成立。　　若m≠M，则y=f(x)在[a,b]上一定有极值点，不妨设为x0。　　由费马定理得到f'(x0)=0　　所以至少有一使得成立　　拉格朗日中值定理课题份量和难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。从本学科出发，应着重选对国

3、民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果　　若函数满足：=f(x)在闭区间[a,b]上连续；=f(x)在开区间(a,b)上可导　　则至少存在一点使得　　证明：构造一辅助函数　　f(x)满足①在[a,b]连续②在(a,b)可导③F(a)=0，F(b)=0即F(a)=F(b)　　所以f(x)满足罗尔定理，则至少有一点使得　　所以　　柯西中值定理　　若函数y=f(x)和y=g(x)满足：1.在[a,b]上都连续；2.在(a,b)上都可导；'(x)和g'(x)不同时为0；

4、g(a)≠g(b)，则至少存在一点使得　　证明：构造辅助函数　　f满足①在[a,b]连续；②在(a,b)可导‘③F(a)=F(b)=0　　即F(x)满足罗尔中值定理　　则至少有一点使得　　得到　　这三个微分中值定理的条件都非常相似，而且后两个微分中值定理的证明都用到了第一个中值定理，他们三个之间到底还有什么区别和联系呢？　　其实①在拉格朗日中值定理中若F(b)=F(a)则，得出，即成为罗尔定理。课题份量和难易程度要恰当，博士生能在二年内作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。从本学科出发，应着重选对国

5、民经济具有一定实用价值和理论意义的课题。课题具有先进性，便于研究生提出新见解，特别是博士生必须有创新性的成果　　②在柯西定理中若g(x)=x,则得出得出，即成为拉格朗日中值定理。　　我们可以简单用一个表格来表示他们之间的关系　　柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔中值定理　　即拉格朗日中值定理是柯西中值定理中的一种特殊情况。罗尔中值定理是拉格朗日中值定理中的一种特殊情况。　　我们只有对这三个微分中值定理做到真正的理解，才能在以后推论常函数，利用导数求函数单调性，求不定式的极限的问题中灵活运用。课题份量和难易程度要恰当，博士生能在二年内

6、作出结果，硕士生能在一年内作出结果，特别是对实验条件等要有恰当的估计。