浅谈微分中值定理及其应用

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1、万方数据2010年2月第10卷第1期廊坊师范学院学报(自然科学版)JournalofLangfangTeachersCollege(NatumalScienceEdition)Feb．2010V01．10No．1浅谈微分中值定理及其应用党艳霞(驻马店职业技术学院，河南驻马店463000)【摘要】多角度阐述微分中值定理及其三个定理之间的关系，并举例说明微分中值定理的应用。【关键词】微分中值定理；极值；介值定理OnDifferentialMeanTheoremandItsApplicationDANGYan-xia【Abstract】Thisarticledeeplyexpounds

2、therelationshipbetweendifferentialm啪theoremanditsothertheoremsfromseveralperspectivesandillustratesthedifferentialmeantheorem叩plicatiouswithexamples．【Keywords】differentia]meantheorem；extreme；intermediatevaluetheorem[中圈分类号)0172[文献标识码]A[文章编号]1674—3229(2010)01—0028—041引言足：2·1·2拉格朗日定理如果函数)，2，(菇)满

3、微分中值定理是构成微分学基础理论的重要内容，是微分学中的基本定理，是研究函数性质的有力工具。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁与基石。但其理论性较强，内容抽象，在教学过程中又容易照本宣科，导致学生学习兴趣不大，而且难于理解和应用，容易得出错误结论。下面针对这一现状，着重论述微分中值定理及其应用。2微分中值定理2．1微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理，它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理。具体内容如下：2．1．1罗尔定理如果函数Y=f(菇)满足：(1)在闭区间[口，b]上连续；(2)在开区间(口，b)内可导

4、；(3)在区间端点的函数值相等，即厂(口)=厂(6)，那么在区间(a，6)内至少有一点手(口<手

5、(口)=厂(6)，则变成罗尔定理；在柯西中值定理中，如果F(茗)=菇，则变成拉格朗日定理。因此，拉格朗日定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日定理的推广。反之，拉格朗日定理是柯西中值定理的特例，罗尔定理是拉格朗日定理的特例。2．3几何解释罗尔定理在曲线，，=f(龙)上存在这样的[收稿日期】2009—12—08[作者简介]党艳霞(1973一)，女，驻马店职业技术学院公共基础部讲师，研究方向：高等数学、线性代数。·28·万方数据第10卷·第1期党艳霞：浅谈微分中值定理及其应用2010年2月点，过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或菇轴)。拉格朗日定理在曲线，，=f(茗)上存在这

6、样的点，过该点的切线平行于过曲线两端点的弦。柯西中值定理在曲线{；三公：；(其中髫为参数，口≤菇≤b)存在一点，使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点A(F(口)，f(口))，召(F(6)，f(b))的弦。综上所述，这三个中值定理归纳起来，用几何解释为：在区间[a，6]上连续且除端点外每一点都存在不垂直于茗轴的切线的曲线，它们有个共同的特征——在曲线上至少存在一点，过该点的切线平行于曲线端点的连线。2．4微分中值定理的深层阐述2．4．1罗尔定理2．4．1．1罗尔定理的证明是借用最值定理及费马定理从罗尔定理的证明中我们可得到：(1)符合罗尔定理条件的函数在开区间(口，6)内必存在最大

7、值或最小值。(2)在开区间(a，6)内使厂(菇)=0的点不一定是极值点。例如函数．厂(菇)=每(5—3x)在闭区间[一1，2]上满足罗尔定理的三个条件，由厂(菇)：3x2(5／4一茗)，显然j拿=0，有／(e)=0成立，但拿=0不是厂(石)的极值点。但加强条件，可得如下定理：定理1若函数在闭区间[a，b]上满足罗尔定理的三个条件，且在开区间(口，6)内只有唯一的一个点e，使厂(亭)=0成立，则点手必是f(戈)的极值点。完全按照罗尔定理的证法，即可证得使厂(搴)=0成立的唯一点搴就