微分论文 浅谈微分中值定理中值点的确定及渐进性

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1、吉首大学本科毕业论文设计浅谈微分中值定理中值点的确定及渐进性吴伟(吉首大学数学与统计学院，湖南吉首，416000)摘要：本文主要讨论了微分中值定理中值点能被确定的几种函数类型，并通过拉格朗日中值定理、泰勒定理、法则，得到了初等函数的关于中值点的一些具体性质。另外本文还讨论了一些复合函数及其他函数类型的微分中值定理中值点确定及渐进性。关键词：微分中值定理中值点；泰勒定理；拉格朗日中值定理；法则；渐进性DiscussionOnDifferentialMeanValueTheoremValuePoin

2、tandProgressiveWuWei(CollegeofMathematicsandStatistics,JishouUniversity,JishouHunan416000）)Abstract：ThispapermainlydiscussesTheTheoryOfDifferentialMeanValueTheoremvaluepointcanbedefinedinseveralfunctiontypes,andthroughtheLagrange’smeantheory,Taylor’s

3、Theory,principle,gettingtheelementaryfunctiononsomespecificpropertyofmeanvaluepoint.Wealsodiscussessomecompositefunctionandotherfuctiontypesofdifferentialmeanvaluepointtheoremandprogressive.Keywords：Differentialmeanvaluetheorem；Taylor’sTheory；Lagrang

4、e’smeantheory；principle；Progressive15吉首大学本科毕业论文设计一、引言：微分中值定理是数学分析最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上的整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。微分中值定理作为微分学的基本定理，在研究函数的性质方面起着重要的作用，参考文献[1]，微分中值定理只肯定了中值点的存在性，而中值点的位置没有已有的定理给以解决，但它亦越来越被重视并被研究。本文总结了已有的一些结论，探讨了微分中值

5、定理中值点的确定几种函数类型，并结合实例讨论了初等函数的关于中值点的确定问题，并在一些问题中进行了推广。另外本文还讨论了一些复合函数以及其他类型函数的微分中值定理中值点的确定及渐进性。二、预备定理：1、泰勒定理[1]：若函数在上存在直至n阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的,,至少存在一点，使得2、拉格朗日中值定理[1]：若函数满足以下条件：在闭区间上连续；在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得注：拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：（1）；（2）.(1)、（2）两式的特点，在于

6、把中值点表示成了，使得不论为何值时，总可为小于1的某一正数。15吉首大学本科毕业论文设计3、法则[1]：设函数和在点的某邻域内（点除外）可导，且，并有。如果极限存在（有限或无限），则三、初等函数对应的微分中值定理中值点的确定初等函数满足拉格朗日中值定理条件及的函数，其中.若是定值，就可以确定微分中值定理的中值点的位置。引理1.对任意的幂函数(n>0),，其中.若满足，其中，则证明：对求导得：由题意可知：两边同除以，得两边开n-1次方，得易得证毕15吉首大学本科毕业论文设计例1.设，其中，其中.试

7、求满足，（其中且）时的值.解：是幂函数，且中的满足定理1的条件，可得推论1.对任意的幂函数(n<0),，其中若满足，其中，证明：对求导得：由题意可知：两边同除以，得两边开n-1次方，得因为则证毕例2.设，其中，其中，试求满足，（其中且）时的值。解：是幂函数，且中的满足推论1的条件，带入上述公式，可得引理2.对任意的指数函数，，其中.若满足15吉首大学本科毕业论文设计，其中，则.证明：对的求导得由题意可知：两边同除以，得两边同除以，得易得两边同除以,得证毕例3.设，，试求满足，（其中且）时的值.解

8、：是指数函数，且中的满足定理2的条件，可得引理3.对任意的对数函数，，.其中，若满足.其中，则.证明：对求导得15吉首大学本科毕业论文设计由题意可得：易得两边减后除以，得.证毕例4．设，，其中，试求满足，（且）时的值.解：是对数函数，且中的满足定理3的条件，可得引理4.对任意三角函数，，若满足，其中，则.证明：（1）对求导得由题意可得两边同除以，得对的求反函数，得易得证毕例5．设，，试求满足15吉首大学本科毕业论文设计，（其中且）时的值.解：是三角函数，且中的满足定理4的条件，可得小结：对于三角