微分中值定理中值点渐进性再讨论.pdf

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1、第43卷第7期数学的实践与认识V61.43N0.72013年4月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYAPr2013微分中值定理中值点渐进性再讨论伍建华,孙霞林,熊德之(武汉工程大学理学院,武汉430073)摘要:对微分中值定理中值点的渐进性的有关结果,作了深入的讨论,并将有关结论推广到区间的任意点,得到了更一般性的结论.关键词:微分中值定理;中间点;渐近性1引言文
l]归纳总结了近年来微分中值定理中值点研究的最新结果,作为该文的定理1~定理4,并对这些结果作进一步推广,成为该文的定理5,而定理5中的条件:劣l一ima+TL窦丫俨耘

2、,丫薰!切,J-式此处>0,沪(x)在la,x]上严格单调,二呱衬(x)一诃(a)务0试∀x)在[a,x1上严格单调,不能保证试x)一试a)>0,由于#是实数,则[试x)一试a)]a可能没有意义,如果把试x)取为在[a,x]上严格单调增函数,又失去了侧x)的一般性.本文将纠正该文定理5的错误,并将其再推广,得到一些更为一般性的结果.为了叙述方便,将柯西微分中值定理引述如下:柯西微分中值定理如果函数f(x),抓x)在闭区间[a,司上连续,在开区间(a,句内可导,对于(a,句内任一点龙了(x)异0,那末在(a,句内至少有一点著,使f(b)一f(a)f∃(石)

3、(l)夕(b)一夕(a)夕∃(石)引理1设刀是区间[a,剑中某点,存在实数#>o,A并#,如果:1)函数f(x),夕(x)在{a,b{上可导,lim夕∃(x)存在,Vx任[a,b],g∃(x)笋O;X~es今刀lim翔一姗lim则幻}侧司一沪(刀)}#=A,沪(x)严格单调,lim沪∃(x)=沪,(刀)半0;x一刀+z升刀一{舞斋犷f∃(x)_f∃(刀)琪哟一琪钧lim夕I(x)g,(刀)gL刀)gL二)(2)=limJ一刀+}x一叫口劣叶刀一}x一叫#二AI诃(n)I证明如甲(x)单调增加:f∃(x)_f∃(刀)厂全2_姗resesesesesesLr.

4、L1J工.胜es,.口Qlim夕,(x)夕∃(刀)夕,(x)试x)一沪(吁)=lim=A
沪∃(,)%工一刀十(x一叼)x科刀+X一刀f,(刀)_f∃(x)lim夕∃(刀)夕∃(x)钾(刀)一沪(x)=lim=A
沪∃(刀)%x一刀一(叼一x)ax一刀一刀一X收稿日期:2011一03一01资助项目:+一丑,国家课题(FIB070335一BZ一04)7期伍建华,等:微分中值定理中值点渐进性再讨论267所以厂业2_兰遨厂二且_左业2limg∃(x)夕,(刀)g∃(刀)夕,(x)=limx一刀+}x一叫口z弓刀一&x一叫#一川尹(n)]#如试x)单调减少,同

5、理可证:二业立_工二立业厂工卫2f∃(二)lim夕∃(x)g∃(刀)91(,)旦一A[一俄n)]=limx一刀十}x一叫Qx叶叮一}x一叫综上所述(2)式成立.对于区间la,司中某一点刀,即a三叮三b,为了叙述的方便,在以下的证明中,a!刀,b!叮表示a*刀一,b*刀+.定理1设刀是区间[a,司中某点,存在实数a>!0,A务0,p,如果:∃)函数f(x),g(x)在[a,乙]上可导,呈织g∃(x)存在,丫x任[a,],g∃(x)务0;二诃(哟笋0;2)~,呱,斋舞一~,嚓,麒嘉一A,,(x)严格单调,黔尹(x)3)恕兴一尸,b弓刀则:柯西中值定理(l)

6、式中的苟满足:{(∃一p)+∃一p#+∃lim}互二卫}_(3)a一刃}b一a}#十1b一刀证明由定理1的条件(3)得:limwe1111孟11一尸.决_1;~些二卫O士∋旦任二卫=1一lim艺二:a~es十叼a科刀b升刀仁召b一刀构造辅助函数夕∃(叮)!f(b)一f(a){一f∃(刀)l夕(b)一夕(a)lF(a,b)=(b一a)+1由引理1的(2)式,并运用洛比达法则:limF(a,b)=lim夕∃(刀)!f(b)一f()+f(刀)一f(a)卜f∃(叮)[夕(b)一夕(刀)+夕(刀)一夕(a)%a~~,刀压科刀(b一a)叶1b弓刀b科刀/b一刀!

7、+1lim夕∃(刀)
f(b)一f(刀){一f∃(刀)[夕(b)一夕(刀)%l∋!十已一刀{(b一刀)+1口一a/b升刀/__!#+1!夕∃(灯)
f(叮)一f(a)%一f∃(叮)[g(刀)一夕(a)%(鉴学)卜(叼一a)叶1!o一azJf,(6)f∃(t7)f∃(刃)嘿(1一p)+∃g∃(6)一g,()尸+1,.g气)lim夕∃()夕∃(b)夕∃(刀)一∋111!1夕∃(a)夕∃()a十1比--,刀(b一功a+la一,(叮一a)#6一刀b一刀(1一p)#+∃一尸+(_A[g∃(#a)]+21沪1∃(#)I把辅助函数变形为:f(b)一f(

8、a)_f∃(刀)夕∃(刀)
f(b)一f(a)卜f∃(刀)
夕(b