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《浅谈微分中值定理的推广》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、浅谈微分中值定理的推广摘要：微分中值定理的应用十分广泛，本文较系统地从几个方面归纳总结了微分中值定理的推广：一是将传统微分中值定理推广到有限个函数的情形；二是将一元函数的微分中值定理推广到二元函数的情形；三是将有限区间上的中值定理推广到无限区问上，得出微分中值定理推广的相关结论，使得对于微分中值定理的相关研究变得更加丰富、深刻和系统。关键词：微分；中值定理；推广1传统微分中值定理微分中值定理是数学分析中微积分的重要定理，它在应用导数来研究函数以及曲线的某些性态中具有十分重要的作用。我们主要讨论一元微分
2、中值定理，包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理三大定理。定理1(Rolle定理)若函数f满足如下条件：(1)在闭区间［a,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b)o则在(a,b)内至少存在一点g,使得f‘(g)二0。定理2(Lagrange定理)若函数f满足如下条件：(1)在闭区间［a,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点J使得7(叭b-a定理3(Cauchy中值定理)若函数f、g
3、满足如下条件：(1)在闭区间8,b］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f7与于在(a,b)内不同时为零；(4)g(a)Hg(b);则在(a,b)内至少存在一点J使得集=J件一出。g(勺g⑹-g⑷传统微分中值定理主要应用有：求不定式极限、求函数的极值与最值、讨论函数图像的性质等，在此不做详细举例。传统微分中值定理十分重要，它是用一元函数导数或微分解决实际问题的桥梁。然而，它的条件比较苛刻，适用范围也十分有限，故对其进行推广，使微分中值定理的适用范围更广泛。2有限个函数的广义微分中值定理2.1
4、有限个函数的广义Rolle定理定理4(广义Rolle定理)设有n个函数兀(兀),乙(刃,£(x),在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，则/（a）-£0）（心1,2，…司线性相关，即存在n个不全为零的实数人，入,…入,使得ZAtZ⑹-恥）1=0（1）/=
5、JUL存在兵（仏切,有£施）=0（2）/=1证明先证（1）成立。考虑n个实数⑹=1,2,…司。事实上，若此n个实数全为零，则显然存在不全为零的实数&，&，…入满足⑴式，此时，讷-長⑹线性相关；若有一个/（。）-/；0上0，则对于不全为零
6、的A（丿=12…,仏且/幻）取人二一一即可。设F（x）=£&J（x）,则F（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，且F（b）-E（a）/=1二立&匕⑹-£閒=0,故由罗尔定理可知存在gw（a,b）,有£&/（勺=0。1=1i=l我们可以看到，在广义罗尔定理中，若令n二2，则有人［/"）-久閒+入［厶⑹-总°）］=0令川）⑴二/⑴，贝IJ有/（：）7（叽—车（显然人工0,若不然，则入b-a人二0，不满足（1）），即为拉格朗日中值定理。例1久⑴，乙⑴，厶（兀）在［⑦切上连续，在仏b）内可导，且/；«
7、）+/；（方）工乙⑺丿+乙少），试证存在兵仏〃），使得厶厶•厶7
8、7>7Qbezlz(zlzA.A⑴^)^)z(z(xz(zzzZB)爪°)证明记F(x)=f、(b)恥)f3(b)+[£⑷+£@)-(兀)令人=Z(d)+Z(b)-[(a)+爪b)]U；(Q)+/；(b)一[/；(d)+土0)]入=/(。)+/；@)-[心⑷+/(/?)]则人，入,入不全为零。由定理4知，存在§€(%),使得：31=1即F@)=0。2.2有限个函数的广义Cauchy中值定理我们注意至lj,定理3中的第⑶条
9、要求f(兀)与g(x)在(°,b)内不同吋为零,这一条件比较苛刻，使使用范阖受到限制。如于(兀)=兀3,g(%)=/,它们在[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导，且存在§=±4^e(-l,l),使得代7「？=上早=1,但此时，f'(O)=g'(O)=Of5g(l)—g(—1)g©是不符合第(3)条的。我们可以将原柯西中值定理修正部分条件，可避免这样的问题。引理1(Cauchy中值定理推广之一)如果f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导，且g⑷Hg(b),贝恠(a,b)
10、内至少存在一点f,使得/0)-/(rz).g(6-g(d)进一步，若g'($)HO,则有g©g@)一g⑷证明作辅助函数F(x)=/(x)-/«)_/(?_/◎[g(x)_g(d)]og(b)_g(a)可以看出F(x)在［a,b］满足罗尔定理条件，故存在兵(d,b),有F©==0,于是⑶式成立，若g'©H0,则⑷式成立。g(b)-g(a)定理5(有限个函数的广义Cauchy中值定理)设函数*兀)也(0,・・・,£(对，满足(1)在闭区间［a,b］上连续；(
