圆锥曲线中典型问题的求解策略与方法

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1、锥曲线中典型问题的求解策略与方法圜锥曲线中的几个重点问题久考不衰，且常考常新，因此，掌握其求解的基本策略与方法是至关重耍的。一.求曲线方程问题求曲线方程问题的基木形式有两种：一是己知曲线的形状与位置关系求曲线方程，即通常所说的“求曲线方程”问题，求解的皋木策略是：根据题设的“定位”条件，合理选择1111线方程形式，根据“定量”条件利川待定系数法建立关于特征参数（a、b、c、e>p）的方程（组），解出有关参数，得到所求曲线方程。二是题设条件给出了点的运动规律，但难以判断曲线类型和方程的具体形式，即通常所说的“求轨迹方程”问题，求解的基本策略是：分析淸电动点运动的基本规律（动点

2、所满足的几何条件），把该条件坐标化，使条件坐标化的常川方法有定义法、直接法、代点法、转移法、参数法、向量法等。例1.如图1所示，抛物线）"=2/心+专）（卩>0）的准线和焦点分别是双曲线的右准线和右焦点，直线y=kx与抛物线及双曲线亦第一象限分别交于A、B两点，且A为0B中点。图1（1）当k=y[3时，求双曲线渐近线的斜率;（2）在（1）的条件下，若双曲线的一条渐近线在y轴上截距为4“斗，求抛物线和双曲线方程。分析（1）注意心斤a故需求出e；（2）由题意知双曲线方程为◎—一与=1a根据已知条件利用特征参数a、b、c、p的关系可获解解：(1)rlK由A是OB的中点，得点B（2

3、p,2逅p）则OB=J（2p）2+（2巧#）2=4p,>1点B到准线x=-p的距离为d=3p由离心率及双111]线定义，得：（2）依题意设双曲线方程为一-与=l（x（）<-卩），则双曲线的一条渐近4^7CT/r线方程为j=—（x-x0）,山渐近线在y轴上截距为得x（）=-4,从而知双曲线的半焦距c=4。厂3”=9ill

4、双曲线取“一”），€=—,p=—,反映了圆锥ac曲线的本质属性，且与朋标系的选取无关，在解决圆锥曲线的诸多问题中起着十分重耍的作用。一.直线与圆锥曲线位置关系问题求解的基本策略是，将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题，进而转化为一元二次方程的实根问题，因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用,以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为重要的作用。例2.直线y=总+1与双曲线3x2-y2=1相交于不同两点A、B。（1）以AB为直径的圆恰好过原点，求k的值。（2）是否存在k,使A、B两点关于直线y=2尢对称？若存在，求出k值；若不存在，请说明

5、理山。分柝（1）所给圆过原点的条件为2C=AB（C为AB中点），将其转化为k的方程；（2）用假设法求解。解：（1）将y=kx+l代入3x2-y2=l,消去y,得:(3-k2)x2-2kx-2=0依题童知由厶=4斤2+8(3-£2)>0,得——V6

6、3=0,解得k=±l或k二土厲（舍去）（2）假设存在k,使A、B关于直线y=2x对称，则直线y二2兀垂直平分线段AB,于是k=——且AB中点在直线y=2x.ho2

7、+]y=—丄兀+1与3/一严=i联立，消去『，得：211x2+4x-8=0212由韦达定理、中点公式，可得AB中点、C(——,—)1111显然点C不在直线y=2兀上，故满足条件的k不存在。评注：(1)屮要注童恻锥曲线与直线方程联立得到相应的一元二次方程的二次项系数，对它们交点个数的影响；(2)属探索型问题，也是高考中的常见题型，基本解法有假设法、反证法。一.最值问题求解的基本策略有二：一是从儿何角度考虑，当题1=

8、1中的条件和结论明显体现儿何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，当题中的条件和结论体现出—•种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。例3.已知0为坐标原点，A>B为抛物线y2=2px(p>0)±的点，设S^iob=mtan上AOB,试求m的最小值o分析：设AB与x轴交点为M(t,0),则可根据题设条件利用向量数量积建立H标函数加=/(/)。解：如图2,设AB交x轴于点M(I,0),A(X),y