圆锥曲线中重点问题的求解策略与方法论文

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1、尹建堂惻锥曲线中的儿个重点问题久考不衰，且常考常新，因此，掌握其求解的基木策略与方法是至关重要的。一.求曲线方程问题求曲线方程问题的基本形式有两种：一是已知曲线的形状与位置关系求曲线方程，即通常所说的“求曲线方程”问题，求解的基本策略是：根据题设的“定位”条件，合理选择曲线方程形式，根据“定量”条件利用待定系数法建立关于特征参数（a、b、c、e、p）的方程（组）,解出有关参数，得到所求曲线方程。二是题设条件给出了点的运动规律，但难以判断曲线类型和方程的具体形式，即通常所说的“求轨迹方程”问题，求解的基木策略是：分析清楚动点运动的基本规律（动点所满足的几何条件），把该条件处标化，使条件处标化的

2、常用方法有定义法、直接法、代点法、转移法、参数法、向量法等。例1.如图1所示，抛物线b=2/7（兀+彳）（0>0）的准线和焦点分别是双1111线的右准线和右焦点，直线y二Rx与抛物线及双曲线在第一象限分别交于A、B两点，且A为OB中点。图1（1）当k-忑时，求双曲线渐近线的斜率；4-x/7,求抛物线和双曲线（2）在（1）的条件下，若双曲线的一条渐近线在y轴上截距为二卜方程。分析：（1）注意k渐=±—=±yle2-1,故需求出c；(2)由题意知双曲线方程为(x~fo)2a"h2根据已知条件利用特征参数a、b、C、p的关系可获解解:y2=2”(兀+彳)，得点A(p,dp)或A((舍去)由A是OB

3、的中点，得点B(2p,2V3p)则IOBI=J(2p)2+(2V3p)2=4p，且点B到准线x=—p的距离为d=3p山离心率及双曲线定义，得：aB_^pd3p3(2)依题意设双曲线方程为一-=l(x0<-p),则双曲线的一条渐近线方程aV74a/7为y=—(x-x0),由渐近线在y轴上截距为二得x0=-4,从而知双曲线的半焦距cbV?■1a3由*c=4c2=a2+b2得宀°/r=7・・・所求双曲线方程为+七"477・・・所求抛物线方程为宀尹+§)评注：圆锥曲线中的特征参数a、b、c、e、p(焦点到相应准线的距离)及其间的关系：Ch~a2=c2±b2(椭圆取“+”，双曲线取“一”)，丘二

4、一，卩=一,反映了圆锥曲线的本质属ac性，且与坐标系的选取无关，在解决圆锥曲线的诸多问题中起着十分重要的作用。一.直线与圆锥曲线位置关系问题求解的棊木策略是，将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题，进而转化为一元二次方程的实根问题，因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公式的应用，以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为重要的作川。例2.直线y=kx+耳双曲线3无2-y2=1相交于不同两点A、Bo(1)以AB为直径的圆恰好过原点，求k的值。(2)是否存在k,使A、B两点关于直线y=2x对称？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由。分析：(1)所给圆过原点的条件为

5、2OC=AB(C为AB中点)，将其转化为k的方程;(2)川假设法求解。解：(1)将y=kx+1代入3x2-y2=1,消去y,得：(3-k2)x2-2kx-2=0依题意知RH土巧，由人二4比2+8(3-^2)>0,得—41

6、、B关于直线y=2x対称，则直线y=2兀垂直平分线段AB,于是k=一丄且AB中点在直线y=2x上。由y二一一兀+1与3兀2_)‘，2=1联立，消去y,得:212+4—8=0112由韦达定理、中点公式，可得AB中点C(一一,—)1111显然点C不在直线y=2x.上，故满足条件的k不存在。评注：(1)屮要注意恻锥曲线与直线方程联立得到相应的一元二次方程的二次项系数，对它们交点个数的影响；(2)属探索型问题，也是高考中的常见题型，基本解法有假设法、反证法。一.最值问题求解的皐本策略有二：一是从儿何和度考虑，当题「I屮的条件和结论明显体现儿何特征及意义时，可用图形性质來解；二是从代数角度考虑，当题中

7、的条件和结论体现岀一种明显的函数关系时，可通过建立廿标函数，求其H标函数的最值，求函数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不筹式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。例3.已知O为朋标原点，A、B为抛物线y2=2/?x(/?>0)±的点，设S、aob=mtan乙403,试求m的最小值。图2分析：设AB与x轴交点为M（t,0）,则可根据题设条件利用向量数量积建立1=1标函数B（X2,y2）o当AB与x轴斜交时