圆锥曲线中的范围问题求解策略

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1、圆锥曲线中的范围问题求解策略例1:已知肓线y=4x+m与椭圆3x2+4y2=12相交于两点，且在椭圆上存在两点关于直线y=4x+m对称，求m的范围。(分析:要求01的范围，关键是要得出一个关于m的不等式，因此问题的根本在于如何得到一个符合要求的不等式，由于这是一个直线和椭圆相交的问题，我们想到可以先设出椭圆上关于直线y=4x+加对称的两个点的坐标，利用“点差法”求出中点坐标，再设法的出不等式。)解:设椭圆上存在两点A(x},X)和B(x2,y2)关于直线y=4兀+m对称.A、B在椭圆上,则有线互相垂直，于是有Kab=

2、-

3、,再设AB屮点P(xo,Jo)»根据中点坐标公式xx+X。=—=③式可化为3兀0+4九(一*)=0即九=3兀。……④再根据P点在肓•线y=4x+加上，得到y0=4x0+m⑤可得x0=-m,yQ=-3m,由于AB是椭圆上的点，所以AB小点应该在椭圆内，因此有3xq+4y；<12这就得到关于参数m的不等式3（-加尸+4（-3说）2<12p丁,2V132V13侍至0

4、范围。22例2：设椭圆二+〈=1(°>/?>0)的左顶点上为A若椭圆上存在一点P,使ZOPA=9()°cTb~(0为原点)，求椭圜的离心率范围。(分析：首先当然是要设出P点的坐标，再设法根据条件将P点的坐标用含a,b,c的式子表达，根据P是椭圆上一点，结合图象，得出不等式，即可求出离心率的范围。)解:设P点坐标是(x,y),根据题意可知：A点坐标为(-67,0)即P点横坐标为兀］=二~ab,根据图形可知P点横坐标e(d,o),即cT一"1-a<-ab2a1-b~<0再将b2=a2-c2^e=-代入可解得e>—,XV

5、O<^<1a2观察上而两个例题的解法，可以发现一个共同点，这一类求范围的问题，其不等式的得出都是通过求某点的坐标，再利用该点的位置，得出坐标的范围，这就是解决这类问题的一般解法。22例3：椭圆兰7+—=1(。>b>0)的两焦点片，化，长轴端点人,仏，若椭圆上存在一点Q,cr使ZA.C2A=120°,求椭圆离心率的范围。(分析：参考上两例题的解法，我们可以想到解题思路，就是求出Q点横纵坐标之一，利用该点在椭圆上，得出不等式，因此问题的关键在于如何利用条件“ZA}QA2=120。”我们想到“到角公式”）解：设Q点坐标为（

6、x,y）,根据题意可知：A点坐标为（-q,0）,心点坐标为（一。，°）于是有直线的斜率&=」一，总线!2人的斜率K.-x+ax-aytan120°=人厂b=x_ax+q=__-=J……①i+keii（y）（y）v+y-a~x-ax+a•・•e（x,）0是椭圆上一点乂+丄7=1……②变形为/=/（］_笃）……③b③代入①得到一竺一=-V3化简可求得y=连VQ是椭恻匕一点，因此满足

7、y

8、0O解得€>鱼或0V—Q（舍去）又

9、・・・0<£<13——从以上例题我们可以得出此类题型的一般性解法，就是先设法求出题屮某个关键点的坐标，然后再结合图形观察该点的位置有何特殊性，根据该点的位置关系得出包含我们所要求的参数的不等式，最后解出不等式就得到参数的范围。如果我们所选取的关键点在椭圆上,我们就只需求出该点横纵坐标的一个就可以列出不等式（如例2,例3）,如果我们选取的关键点在椭圆内，那么我们就不能只求某一个处标，而应该把该点的横纵他标都求出來，再得出不等式（如例1）。而在求离心率范围的问题中，我们往往只求出其范围的一部分，这就要求还需注意一个大的前

10、提：椭圆的离心率0vwvl,双1111线的离心率e>.