圆锥曲线离心率取值范围的几种求解策略.pdf

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1、万方数据38福建中学数学2011年第4期圆锥曲线离心率取值范围的几种求解策略曾晓阳福建省惠安县第三中学(362100)离心率作为圆锥曲线的重要几何特征，其取值范围的问题是近年高考的热点问题之一，它的解法灵活，融代数、三角、几何知识于一体，对于考查学生综合运用知识的能力十分有益．本文拟借助部分高考试题的分析，例析此类问题的常见求解策略．策略一：应用不等式知识例l(2008年高考湖南卷·理8)若双曲线事一矿y2=l(口>0，6>o)上横坐标为孚的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A．(1，2)B．(2，+∞)c．(1，

2、5)D．(5，+∞)分析(应用已知的不等关系)由焦半径公式得横坐标为等的点到右焦点的距离为P×三a-12I,则依题意得P×吾a-a>譬+三口≥3P2—5e一2>0，．。．P>2或P<一÷，又P>1，．·．P>2，故选B．例2(2008年高考全国卷Ⅱ·理9)设口>1，v2～2则双曲线生a2一石睾矿21的离心率e的取值范围是A．(√2，2)B．(42，45)C．(2，5)D．(2，垢)分析(应用基本不等式的性质)依题意得P：：尘掣：1+(1+三)z，口’口由口>lj0<一1<1j21，．·．42

3、o，6>o)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是A．(1，压]B．[扼，+oo)C．(1，压+1]D．[压+1，+∞)分析(应用圆锥曲线的几何性质)设双曲线的右支上存在一点P(％，‰)，则根据题意得￡‰一口：．％+竺，．

4、-．(P—1)‰：!二+口，·．·‰≥口，．·．—a—z+口≥(e-1)口，即P2—2e-l≤0，解得：l一√j≤PC≤l+压，Xe>1，．．．10，6>o)的两个焦点为E、最，若P为其上一点，且I明

5、_2I％I，则双曲线离心率的取值范围为A．(1，3)B．(1，3】C．(3，+∞)D．[3，+oo)分析一(利用圆锥曲线的几何性质)不妨设双曲线的左、右焦点分别为E、E，则可知点P在双曲线右支上．由I明I-I丝

6、-2a及l鹧

7、=2I鸩I解得l啊I=4a，I嘎

8、I-2a．设e(Xo，Yo)，则由焦半径公式得I尸E

9、_exo一口=2ajxo=一3a．·．·点P在双曲线右支上，．·．xo≥口，即3a≥口，解得1

10、鸩

11、-4a，I鳗I-2a，点P在双曲线右支上，．·．在△鹪五中，l明l+I鸩阎鼻EI(当点P为双曲线右顶点时取等号)，即铂+加≥2cj二≤3，．’．12c或

12、

13、PF

14、。一I鹧忙2c，构建相应的不等关系，

15、便可寻求参量范围．策略三：应用三角函数知识例5同上面例4．分析(利用三角函数的有界性)同例4分析一得IJP互I=4a，l尸五l-2a．设么fPE=口(0<口≤万)，则在△尸EE中，由余弦定理得co。口：!!暨!!!丝!二15型22I朋H矾I(4口)2+(2口)2一(2c)2、1一一‘一■2．4口．2口(当点P为双曲线右顶点时取等号)．·．e2≤9，又e>l，．‘．1

16、效的途径．策略四：应用数形结合的思想例6(2008年高考江西卷·理7文7)已知只、E是椭圆的两个焦点．满足MF,·MF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A．(0，1)B．10．寺lc．fo，孚]。．巨+o]分析由题意可知，垂足的轨迹是以焦距为直径的圆，且此圆始终在椭圆的内部，则c

17、问题的重要途径．圆锥曲线离心率取值范围的问题，对解题能力的要求较高，解题的策略多样，在求解过程中，应着眼于“确定关于离心率e的不等式”这一关键所在，认