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1、基础二次函数考点梳理考点一、二次函数的定义一般地，如果（a、b、c是常数，aHO）,那么y叫做x的二次函数.要点诠释：二次函数（a^0）I^J结构特征是：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.（2）二次项系数a^O.考点二、二次函数的图象及性质IbAacJ1.二次函数八山""'（aHO）的图象是-条抛物线，顶点为I如滋丿.2.当a>0时，抛物线的开口向上；当aVO时，抛物线的开口向下.3.①
2、a
3、的大小决定抛物线的开口大小.
4、胡越大，抛物线的开口越小，
5、a
6、越小，抛物
7、线的开口越大.②c的大小决定抛物线与y轴的交点位置.c=0时，抛物线过原点；c>0时，抛物线与y轴交于正半轴；c<0时，抛物线与y轴交于负半轴.③ab的符号决定抛物线的对称轴的位置.当ab=O时，对称轴为y轴；当ab>0时，对称轴在y轴左侧；当甜<0吋，对称轴在y轴的右侧.4.抛物线=的图象，可以由的图象移动而得到.将向上移动k个单位得：十上.将向左移动h个单位得：/=«（»+*/.将先向上移动k（k>0）个单位，再向右移动h（h>0）个单位，即得函数尸彳-妙"的图象要点诠释：求抛物线（a^O）的
8、对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各白的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.考点三、二次函数的解析式1.一般式：若已知条件是图彖上的三个点，则设所求二次函数为，将已知条件代入，求出a>b、c的值.2.交点式（双根式）：ym左一兀K疋一砧（&#Q）若'已知二次函数图彖与X轴的两个交点的坐标为（XI,0）,（X2,0）,设所求二次函数为尸=曲"将第三点5,n）的处标（其中叭n为己知数）或其他已知条件代入,求出待定系数，最后将解析式化为一般形式.3.顶点式:八无一疔4*
9、（"0）若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最人值（或故小值），设所求二次函数为将己知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式.4.对称点式：若已知二次函数图彖上两对称点(X1,m),(x2,m),则可设所求二次函数为A=将已知条件代入，求得待定系数，绘后将解析式化为一般形式.要点诠释：已知图象上三点或三对X、》的值，通常选择一般式.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成尸=山的图象平移后所对应的函数).已知图彖与*轴的交点坐标咼、砌，通常选用交点式：航Xk-xJqhO)
10、.(由此得根与系数的关系：1.开口方向：3>0时，开口向上，否则开口向下.考点四、二次函数y二ax"2+bx+c(aH0)的图象的位置与系数a、b、c的关系2.对称轴：吋，对称轴在y轴的右侧；当2fl时，对称轴在y轴的左侧.3.与x轴交点：沪-仕A°时，有两个交点；*a-4«=0时，有一个交点；沪-4=°时，没有交点.要点诠释：当x=l时，函数y=a+b+c；当x=T时，函数y=o-b+c；当a+b+c>0时，x=l与函数图象的交点在x轴上方，否则在下方；当a-b+c>0时，x=-l与函数图象的交
11、点在x轴的上方，否则在下方.考点五、二次函数的最值1.当a>0时，抛物线Z=有最低点，函数有最小值，当时，=丄2.当sVO吋，抛物线=有最高点，函数有最大值，当.石吋,要点诠释：在求应用问题的最值时，除求二次函数+的最值，还应考虑实际问题的自变量的収值范围.典型例题类型一、应用二次函数的定义求值1.二次函数y=x-2(k+1)x+k+3有最小值-4,且图象的对称轴在y轴的右侧,则k的值是.答案与解析举一反三【思路点拨】因为图象的对称轴在y轴的右侧，所以对称轴x二k+l>0,即k>-l；又因为二次函
12、数y=x2-2（k+1）x+k+3冇最小值-4,所以y呆小值=二-4,口J以求出k的值.【答案与解析】解：・・•图彖的对称轴在y轴的右侧，・•・对称轴x=k+l>0,解得k>-l,・・•二次函数y=x-2（k+1）x+k+3有最小值-4,畑3）-站打•'•y鼓小沪4二k+3-（k+1）彳二-k~~k+2二-4,整理得k2+k-6=0,解得k二2或k=-3,Vk=-3<-l,不合题意舍去，.*•k=2.［总结升华］求二次函数的授大（小）值冇三种方法，笫一种可由图彖直接得出，第二种是配方法,第三种是
13、公式法.类型二、二次函数的图象及性质的应用1.把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）•A.八B尸-（"_3C.^=-（X-Da+3D.二答案与解析举一反三□【思路点拨】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线尸-疋顶点坐标为（0,0）,向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（-1,3）,根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式.【答案】D；【解析】根据抛物线的平移规律可知：向左平移1个单位可变成，=-匕4■护，再向上平移3
