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1、浅谈奥林匹克数学的解题策略浙江温州22中学高洪武325003策略，按字而上的意义是战略、计谋，是指一种总体的行动方针，而非具体的方法。现代认知心理学的研究表明，如果主体所接触到的不是标准的模式化的问题，那么就需要进行创造性的思维，需要冇一种解题“策略”，所以策略的产牛及其止确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。在实际情况下，奥林匹克数学问题人多没有固定的模式可循，它要学生去“解一些要求独立思考，思路合理，见解独特和有创造性的问题”。因而,其思维过程是复杂的，对其解题策略的研究也是一项极其困难的任务。本文拟结合竞赛问题，对若干主耍的解题策略
2、及其方法进行概括性的分析。一、构造法构造性解题方法是一古老而乂崭新的科学方法，常简称为构造法。构造法的实质是根据某些数学问题的条件或结论所具冇的特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并得到解决的方法。在思维方式上，构造法常常表现出简捷、明快、精巧等特点，常使数学解题突破常规，另辟蹊径。利用构造法构造出来的数学对象，所涉及的面广，如数、式、方程、不等式、函数、命题、“抽屉”、程序等等。例1:已知x>0,y>0,fl.x+y二c,求z=x2+a2+yjy2+b2的戢小值
3、，（a,b,c为常数）分析：如图所示分别将+/,J>,2+],看作是RtAABD与RtABCE的斜边，点B是线段AC上的动点，AB=x,BC=y,AD=a,CE=b,AC=c,作点D关于直线AC的対称点D',连接D'E交AC于点B,则例2：试问方程:xl+x2+x3+・・・+xl001二2002有多少组不同的止整数解？分析：可以构造这样的一个对应关系：将2002个相同的球排成一行，则它们之间有2001个间隔，现将1000块板插入这2001个间隔中，（每个间隔只能插入一块板）则显然每一组插法与原方程的每一组解产生了一一对应关系，而此时板的插法比较容易求，BP
4、2001个间隔中任选1000个间隔分别插入-块板，显然共有J种不同的插法，所以原方程共有S组不同的正整数解。例3：已知x,y,z,为止数，且xy^（x（y+z）的最小值。（全苏数学竞赛,1989）分析：构造一个AABC,其中三边分别为则面积为S△=y]p(p-a)(p-h)(p-c)二J(x+y+z)粧2SA=1,另-方面，（x+y）&+沪恥猛'2故知，当口仅当ZC=90°吋，ab取得最小值，即(兀+),)2+0+?)2=(兀+乙)2y(x+y+z)=xz时，(x+y)(y+z)取最小值。如x二z=1,y=41-时，(x+y).(y+z)=2例4：试证：
5、在半径为1的圆周上存在n个点，它们中任意两点的距离为有理数。（第17届1M0,1975）1-L2分析：构造Ok二Arccot（k二1,2,3,・・・n）,则点2kA&（Cos2〃女,Sin2〃Q在单位圆周上。当1„,)241+Co/2(2+&”j二41+[-Z-]~2k(l-m2)-2m(l-k2)L-12_16(k-m)2(1+km)2(km+1)2+(k—m)2所以人4”」为有理数，命题获证。二：问题转化法问题转化，也称Z为化归，是数学家
6、特别善于使用的策略，在奥林匹克数学中也经常用到。当接触到的问题难以入手时，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化为另一个比较熟悉而容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的kl的。化归农现了思维的变通性和流畅性。苏联数学家雅珞夫基斯卡亚指出“解题一一就是意味着把所要解决的问题转化为已经解过的问题。”同原问题相比，化归后的新问题必须是己经解决或较为熟悉、简单的问题。/11例5：设S={(x,)?)
7、lg/+-)』+-=lgx+lgy,x,ye/?}试求S的元39丿素的个数(全国高中联赛，1990)分析：itllg(x+-)；3+-)=lg
8、x+lgy得393131x+y+=xy3-9兀>0ooooooooooo(1*)y>0因此S的元索个数就等价与满足（1*）式的有序数对（%*）组数问题，注意故利用算术与儿何均值不等式，有:八技+眾*（当且仅当宀叔冷时等号成这样，我们乂将问题化归为求方程组:OOOOO（2*）实数解的组数容易求得（2*）的解为即S的元素个数为1,本题中，我们首先将抽彖的集合语言转化为通常所熟悉的数学式子，从I何将S元素个数问题化归为一个方程，不等式混合组的解的组数问题，再利用算术与儿何均值不等式，我们乂将其化归为求解一个十分简单的方程纽问题。例6：卬乙两队各出7名队员按事先排
9、好的顺序出场参加围棋播台赛。双方先又1号队员比赛，负者被淘汰，胜者
