浅谈奥林匹克数学的解题策略（高洪武）[全套]

《浅谈奥林匹克数学的解题策略（高洪武）[全套]》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、浅谈奥林匹克数学的解题策略浙江温州22中学高洪武325003策略，按字面上的意义是战略、计谋，是指一种总体的行动方针，而非具体的方法。现代认知心理学的研究表明，如果主体所接触到的不是标准的模式化的问题，那么就盂要进行创造性的思维，需要有一种解题“策略”，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。在实际情况F,奥林匹克数学问题人多没有固定的模式可循，它要学生去“解一些要求独立思考，思路合理，见解独特和有创造性的问题”。因而，其思维过程是复朵的，对其解题策略的研究也是一项极其困难的任务。木文拟结合竟赛问题，对若干主要的解题策略及其方法进行概揺性的分析

2、。一、构造法构造性解题方法是一古老血又崭新的科学方法，常简称为构造法。构造法的实质是根据某些数学问题的条件或结论所具冇的特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维小构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并得到解决的方法。在思维方式上，构造法常常表现岀简捷、明快、楷巧等特点，常使数学解题突破常规，另辟蹊径。利用构造法构造出来的数学对象，所涉及的面广，如数、式、方程、不等式、函数、命题、“抽屉”、程序等等。例1：已知x>0,y>0,且x+y=c,求z=Jx?+/y2+b2的最小值，（a,b,c为常数）分析：如图所示分别将J,卜看作是Rt

3、AABD与RtZXBCE的斜边，点B是线段AC上的动点，AB=x,BC=y,AD=a,CE=b,AC=c,作点D关于直线AC的対称点D仁连接"E交AC于点B,则7min=D'E=7（6/+/?）2+c2例2：试问方程：xl+x2+x3十・・・+xl001二2002有多少组不同的正整数解？分析：可以构造这样的一个对应关系：将2002个相同的球排成一行，则它们Z间冇2001个间隔，现将1000块板插入这2001个间隔中，（每个间隔只能插入一块板）则显然每一组插法与原方程的每一组解产牛了一一对应关系，而此时板的z1000插法比较容易求，即2001个间隔中任选1000个间隔分别插入一

4、•块板，显然共有（种不2001同的插法，所以原方程共有（和组不同的正整数解。例3：已知x,y,z,为正数，且xyz(x+y+z)=1求表达式(x+y)。(y+z)的最小值。(全苏数学竞赛，1989)分析：构造一个AABC,其中三边分别为(其中p二一(a+b+c))2(Cos26-Cos2&+(Sin20R-Sin2&则而积为sA=7p(p-a)(p-b)(p-c)2丸另一方面’(x+y)@+沪处猛餐故知，当且仅当ZC=90：时，ab取得最小值，即(x+y)2+(y+z)2=(x+z)2y(x+y+z)=xz时，(x+y)(y+z)取最小值。如x=z=1,y=72-1时,(x+

5、y).(y+z)=2例4：试证：在半径为1的圆周上存在n个点，它们中任意两点的距离为有理数。(笫17届TMO,1975)1-k2分析：构造0k=Arccot(k=1,2,3,・・・n),则点A&.(Cos2&k,Sin2&鸟)在单位圆周当1Sk考察单位鬪周上任意两点Ak,A,”间的距离1+曲檢+盅)16伙一〃?『(I+如7)(km+I)2+(k-m)所以

6、4几

7、为有-理数’命题获证。二：问题转化法问题转化，也称之为化归，是数学家特别善于使用的策略，在奥林匹克数学屮也经常用到。当接触到的问题难以入手时，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化为另一个比较熟悉而容易解决的问题，通

8、过对新问题的解决，达到解决原问题的H的。化归表现了思维的变通性和流畅性。苏联数学家雅珞夫基斯卡亚指出“解题一--就是意味着把所要解决的问题转化为已经解过的问题。”同原问题相比，化归后的新问题必须是已经解决或较为熟悉、简单的问题。例5：设S={(x,y)

9、lg高中联赛,1990）=lgx+ye/?｝试求S的元素的个数（全国.1.1分析：由lg(x+-y+—)=lgx+lgy得3131X+—y+—=XV39x>0(1*)y>0因此S的元索个数就等价与满足（广）式的冇序数对（兀y）组数问题，注意到3•313131十+-y+_=xy=3?X・_y._3"9V39故利用算术与儿何均值不等式

10、，有:八扌八訂3討扣存秽（当且仅当宀*冷时等号成立）这样，我们又将问题化归为求方程组:31X=—9-OQOOOQOQOOQQOO131-V=—89。。（2*）实数解的组数容易求得（2*）的解为即S的元素个数为1,木题屮，我们首先将抽象的集合语言转化为通常所熟悉的数学式子，从而将S元素个数问题化归为一个方程，不等式混合纽的解的纽数问题，再利用算术与儿何均值不等式，我们又将其化归为求解一个十分简单的方程组问题。例6：「卩乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛。双方先乂1