浅谈奥林匹克数学的解题策略

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1、浅谈奥林匹克数学的解题策略策略，按字面上的意义是战略、计谋，是指一种总体的行动方针，而非具体的方法。现代认知心理学的研究表明，如果主体所接触到的不是标准的模式化的问题，那么就需要进行创造性的思维，需要有一•种解题“策略”，所以策略的产牛•及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。在实际情况下，奥林匹克数学问题大多没有固定的模式可循，它要学生去“解一些要求独立思考，思路合理，见解独特和有创造性的问题”。因而，具思维过程是复杂的，对具解题策略的研究也是一项极其困难的任务。本文拟结合竞赛问题，对若干主耍的解题策略及其方法进行概括性的分析。一：构造法构造性解题方法是

2、一古老而又崭新的科学方法，常简称为构造法。构造法的实质是根据某些数学问题的条件或结论所具有的特征，用已知条件屮的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并得到解决的方法。在思维方式上，构造法常常表现出简捷、明快、精巧等特点，常便数学解题突破常规，另辟蹊径。利用构造法构造出來的数学对象，所涉及的面广，如数、式、方程、不等式、函数、命题、“抽屉”、程序等等。例1:已矢Ux>O,y>O,H.x+y二c,求+0，+y2+b2的最小值，（a,b,c为常数）分析：如图所示分别将,卜看作是RtAABD与RtABCE的斜边，

3、点B是线段AC上的动点，AB=x,BC=y,AD=a,CE二b,AC=c,作点D关于直线AC的对称点D,连接Q'E交AC于点B,则7in.n=DfE=7（«+/?）2+c2例2：试问方程:xl+x2+x3+・・・+xl001二2002有多少组不同的正整数解？_分析：可以构造这样的一个对应关系：将2002个相同的球排成一行，则它们之间有2001个间隔，现将1000块板插入这2001个间隔中，（每个间隔只能插入一块板）则显然每一组插法与原方程的每一组解产生了一一对■应关系，而此时板的ZIOOO插法比较容易求，即2001个间隔屮任选1000个间隔分别插入一块板，显然共有（种不'2

4、（）01Z1OOO同的插法，所以原方程共冇（组不同的止整数解。、2001例3：己知x,y,z,为正数，且xyz（x+y+z）=1求表达式（x+y）。（y+z）的最小值。（全苏数学竞赛，1989）分析：构造一个AABC,其中三边分别为a=x+y

5、证：在半径为1的圆周上存在n个点，它们中任意两点的距离为有理数。(第17届IM0,1975)-k2分析：构造0k=Arccot(k=1,2,3,・・・n),则点hk(Cos20k,Sin2〃&)在单位圆周2k上。当1„,)24~+cotek+ej二42k(l-加J_2加(1一以)」厂"1216伙+km)2(km+1)2+(k-m)2所以

6、£九

7、为有理数，命题获证。二：问题转化法问题转化，也称Z为化归，是数学家特别善于使用的策略，在奥林匹克数学中也

8、经常川到。当接触到的问题难以入于•时，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化为另一个比较熟悉而容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的口的。化归表现了思维的变通性和流畅性。苏联数学家雅珞夫基斯卡亚指出“解题一一就是意味着把所要解决的问题转化为已经解过的问题。”同原问题相比，化归后的新问题必须是已经解决或较为熟悉、简单的问题。11、x3+-y3+—=lgx+lgy,x,ye/?}试求S的元素的个数(全国39丿高中联赛,1990）分析:由1如+叔+为*+3得x+—y'+—=xy(1*)39•x>0y>0因此S的元素个数就等价与满足（1*）式的有序数対（兀』）组数问

9、题，注意到〒+丄3+丄33h丄3丄39V3*9故利用算术与几何均值不等式，有:宀討+詐3丹冷呵（当且仅当化卩冷寸等号成立）这样，我们乂将问题化归为求方程组:-9。。（2*）实数解的组数容易求得（2*）的解为即S的元素个数为1,本题中，我们首先将抽彖的集合语言转化为通常所熟悉的数学式子，从而将S元素个数问题化归为一个方程，不等式混合组的解的组数问题，再利用算术与儿何均值不等式，我们乂将其化归为求解一个十分简单的方程组问题。例6：甲乙两队各岀7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛。双方先乂1