2019-2020年高中第二册(下A)数学棱锥(II)

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1、2019-2020年高中第二册(下A)数学棱锥(II)教学目标：理解正多面体的概念，了解正多面体的种类，懂得什么叫凸多面体．教具准备：三角板．教学过程：［设置情境］我们知道正多边形的边数可以是大于等于3的任意自然数，那么正多面体的面数是否也可以有任意多个呢？［探索研究］1．多面体的概念多面体——若干个平面多边形围成的几何体．多面体的面、多面体的棱、多面体的顶点如图1．图12．凸多面体的概念把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体．3．多面体的分类一个多面体至少有四个面．多面体依照它的面数分别叫做

2、四面体、五面体、六面体等．4．正多面体的定义及种类正多面体——每个面都具有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体．正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体．5．例题分析例1设｛简单多面体｝，｛凸多面体｝，｛正多面体｝，则、、之间的关系是（）A．B．C．D．解：简单多面体包括：棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体等，所以A，B都错误，又根据正多面体的定义，正多面体是特殊的凸多面体，所以D错误，正确的是C．例2两个棱长相等的正多面体，将它们的一个面重合，得到的多面体是不是正多面体？（如图2）图2解

3、：设将两个正四面体的一个面重合，根据正多面体的定义，每个顶点都有相同数目的棱数，而重合后的那个面上的三个顶点都有4条棱，不重合的那两个顶点各有3条棱，所以重合后得到的多面体不是正多面体．教师点评：判断一个凸多面体是不是一个正多面体，只要根据定义看看这个多面体的每个面是否是全等的正多边形以及每个顶点是否有相同数目的棱数．例3求棱长为的正八面体的体积和全面积．解：如图3，易知截面是一个边长为的正方形，并且它把正八面体分成两个全等的正四棱锥和．图3设是棱锥的高，则∴．例4已知四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，求其体积．解：由于四面体不是正

4、四面体，且由三角形的两边之和大于第三边，又根据题没，可知棱长是1的棱只可能有1条、2条、3条三种情况：（1）如图4，若四面体中，的棱长是1，其余各棱的长是2，分别取、的中点、，连结、、因为△和△均是以为底边的等腰三角形．∴，．又面，面，且图4∴．∴易证：，因为，所以．在△中，得在△中，得∴∴．（2）如图5，若四面体中，和的棱长是1，其余各棱长是2，同（1）可得．图5（3）如图6，若四面体中，、、的棱长都是1，其余各棱长是2，作面因为，则垂足是底面正△的中心，连结，到，在△中，，又，所以．图6［演练反馈］1．正方体、正多面体、凸多面体、简单多面体

5、、多面体之间有什么关系？2．求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角．3．已知一个正多面体的体积为，它的一个侧面积为，则由正多面体的一点到各侧面的距离之和等于____________．4．正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角的余弦值是__________．［参考答案］1．｛正方体｝｛正多面体｝｛凸多面体｝｛简单多面体｝｛多面体｝2．提示：设正四面体的二面角为，正八面体的二面角为．（），∴．3．4．［总结提炼］本节课主要学习了多面体的定义、凸多面体的定义、正多面体的定义及种类，正多面体的面数已经不像正多边形边数那样有无数多种类型了，而只

6、有4、6、8、12、20五种，要想知道为什么，等到学习了欧拉公式就明白了．板书设计：1．多面体2．正多面体例1例2例3例4