2019-2020年高中第二册(下A)数学棱锥(1)

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1、2019-2020年高中第二册(下A)数学棱锥(1)教学目标：1．理解棱锥的概念、分类．2．掌握棱锥中平行于底面的截面与原棱锥底面的关系的定理．3．记住锥体的体积公式．教具准备：投影胶片、三角板．教学过程：［设置情境］（投影出实际生活中常见的棱锥的例子）问：那么棱锥应该怎么去定义呢？［探索研究］1．介绍概念棱锥的定义、侧面、棱锥的高、侧棱、顶点．（图1）图12．分类从底面多边形的边来分可分为：三棱锥、四棱锥…（图2）图23．棱锥的性质定理如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比．证明：（见课本P48）4

2、．棱锥的体积（其中是锥体的底面积，是锥体的高．）5．例题分析例1若两个平行于底面的截面恰好三等分棱锥的体积，求此棱锥的高被截面分得的三条线段的长之比．解：由棱锥的性质可知，用平行于底面的平面截棱锥，它们的面积比等于对应高的平方比．容易推出它们的体积比为对应高的立方比．设以截面为底的棱锥的高与原棱锥的高分别为、、（），则，又，故，∴．于是．图3例2已知三棱锥的顶点在底面内的射影为底面三角形的垂心，求证：底面内任一顶点在其相对侧面内的射影也是此侧面三角形的垂心．证明：如图3，在三棱锥中，在底面内的射影为△的垂心，、分别交、于、．作面于点，连、∵为△的垂心∴由三垂线定理得，再

3、由三垂线定理知同理∵∴∴（三垂线定理）∴为△的垂心同理可证、在△、△上的射影也分别是它们的垂心．例3如图4，四棱锥的高为，底面为菱形，侧面和侧面所成的二面角为，且都垂直于底面，另两个侧面与底面所成的角都等于，求此棱锥的全面积．图4解：因侧面底面，侧面底面，故底面．为二面角的平面角，即．因四边形是菱形，故△为正三角形．取的中点，连结、，则，又由三垂线定理可知，故是侧面与底面所成的二面角的平面角，．在△中，，，，且，∴＋．教师点评：本例是一个典型的题型，既可复习棱锥的概念又可复习线、面之间的平行、垂直关系．［演练反馈］1．正方体中，以、、、为顶点的三棱锥与正方体的体积之比为

4、（）A．B．1：3C．3：1D．2．三棱锥各侧面与底面所成的二面角都是，底角三角形的三边长分别为3、4、5，求此棱锥的则面积．3．过棱锥高的两个三等分点作平行于底面的截面，设两个截面面积及底面面积分别为、、，（），求．［参考答案］1．B2．123．1：4：9［总结提炼］棱锥中平行于底面的截面与原棱锥底面关系的定理中的有关结论可作适当推广．如果飘棱锥被平行于底面的平面所截，那么截得小棱锥与原棱锥的对应面（底面、侧面等）之比，等于对应线段（高、侧棱等）的平方比．同样截得小棱锥与原棱锥的体积之比等于对应线段的立方比．这里要强调的是必须为两棱锥的对应的量．布置作业:1．课本P5

5、2习题9.85．2．课本P52习题9.86．3．如图1，在四棱锥中，侧面是正三角形，且垂直于底面，又底面是矩形，是侧棱的中点．图1（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若，且，求．［参考答案］1．1：92．略．3．（1）提示：（2）提示：平面（3）板书设计:1．棱锥的概念（1）（2）（3）定理例1例2例3练习