2019届高考数学一轮复习 第八篇 平面解析几何 第4节 双曲线训练 理 新人教版

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1、第4节　双曲线【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义及标准方程2,4,6双曲线的几何性质1,3,5,9双曲线定义、标准方程及几何性质的综合应用7,8,10,11,12,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.双曲线x2-my2=1的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于(　D　)(A)(B)(C)2(D)4解析:双曲线的方程可化为x2-=1,所以实轴长为2,虚轴长为2,所以2=2(2),解得m=4.故选D.2.已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P,Q两点,且点P的横坐标为2,则△PF1Q的周长为(　

2、D　)(A)4(B)(C)5(D)解析:由双曲线方程得a2=3,b2=1,所以c2=a2+b2=4,所以c=2,所以右焦点F2(2,0),因为xP=2且PQ过点F2,所以PQ⊥x轴,如图,由此得⇒

3、PF1

4、+

5、PF2

6、=,所以△PF1Q的周长为2(

7、PF1

8、+

9、PF2

10、)=.故选D.3.(2016·全国Ⅱ卷)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为(　A　)(A)(B)(C)(D)2解析:由题不妨设

11、MF1

12、==1,

13、MF2

14、=3,则c=,a=1,得e==.故选A.4.已知双曲线

15、-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(　A　)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:圆心的坐标是(3,0),所以半焦距c==3,圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx±ay=0,根据已知得=2,即=2,解得b=2,则a2=32-22=5,故所求的双曲线方程是-=1.故选A.5.(2017·佳木斯市三模)椭圆C:+=1与双曲线E:-=1(a,b>0)有相同的焦点,且两曲线的离心率互为倒数,则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为(　D　)(A)(B)(C)(

16、D)解析:椭圆C:+=1的焦点坐标为(±1,0),离心率为.双曲线E:-=1(a,b>0)的焦点为(±1,0),c=1,双曲线的离心率为椭圆的倒数,所以为2.由e=,即2=,得a=,则b=,双曲线渐近线为y=±x,设渐近线的倾斜角α,则tanα=±,所以α=60°或120°,所以sinα=.故选D.6.已知双曲线-y2=1的左、右焦点为F1,F2,点P为左支上一点,且满足∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为　　　　. 解析:设

17、PF1

18、=m,

19、PF2

20、=n,在△F1PF2中由余弦定理得m2+n2-2mncos60°=(2c)2,①由双曲线定义

21、得n-m=2a,②联立①②化为所以mn=4,所以=mnsin60°=.答案:7.已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　. 解析:法一　设F2(c,0)(c>0),P(c,y0),代入双曲线方程得y0=±,因为PQ⊥x轴,所以

22、PF2

23、=.在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,所以

24、F1F2

25、=

26、PF2

27、,即2c=·.又因为c2=a2+b2,所以b2=2a2或2a2=-3b2(舍去).因为a>0,b>0,所以=.故所求双曲线的

28、渐近线方程为y=±x.法二　设F2(c,0),由题意Rt△PF1F2中,∠PF1F2=30°,所以

29、PF1

30、=2

31、PF2

32、,由双曲线定义,得

33、PF1

34、-

35、PF2

36、=2a,即

37、PF2

38、=2a,又

39、F1F2

40、=2c,所以==,所以c=a,所以c2=3a2,又c2=a2+b2进而得b2=2a2,所以=,所以渐近线方程为y=±x.答案:y=±x能力提升(时间:15分钟)8.如图,已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,

41、F1F2

42、=8,P是双曲线右支上的一点,直线F2P与y轴交于点A,△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若

43、PQ

44、

45、=2,则该双曲线的离心率为(　C　)(A)(B)(C)2(D)3解析:如图记AF1,AF2与△APF1的内切圆相切于N,M,则

46、AN

47、=

48、AM

49、,

50、PM

51、=

52、PQ

53、,

54、NF1

55、=

56、QF1

57、,因为

58、AF1

59、=

60、AF2

61、,所以

62、NF1

63、=

64、AF1

65、-

66、AN

67、=

68、AF2

69、-

70、AM

71、=

72、MF2

73、,所以

74、QF1

75、=

76、MF2

77、,所以

78、PF1

79、-

80、PF2

81、=(

82、QF1

83、+

84、PQ

85、)-(

86、MF2

87、-

88、PM

89、)=

90、PQ

91、+

92、PM

93、=2

94、PQ

95、=4,即2a=4,所以a=2.由

96、F1F2

97、=8=2c,得c=4,所以e==2.故选C.9.若双曲线C:mx2+y2=1的离心

98、率为2k(k>0),其中k为双曲线C的一条渐近线的斜率,则m的值为(　B　)(A)-(B)(C)-3(D)解