2019届高考数学一轮复习 第八篇 平面解析几何 第5节 抛物线训练 理 新人教版

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1、第5节　抛物线【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的标准方程与几何性质1,2,3,7抛物线的定义及其应用6,8,9,11抛物线定义、标准方程及几何性质的综合应用4,5,10,12,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为(　D　)(A)x=-1(B)x=-2(C)x=-3(D)x=-4解析:因为抛物线y2=2px的焦点（,0）在2x+3y-8=0上,所以p=8,所以抛物线的准线方程为x=-4.故选D.2.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是(　D　)(A)

2、y2=±2x(B)y2=±2x(C)y2=±4x(D)y2=±4x解析:因为双曲线的焦点为(-,0),(,0),设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则=,所以p=2,所以抛物线方程为y2=±4x.故选D.3.(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知

3、AB

4、=4,

5、DE

6、=2,则C的焦点到准线的距离为(　B　)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:以开口向右的抛物线为例,设抛物线方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2,设A(x0,2),D（-,）,点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px

7、0,①点D（-,）在圆x2+y2=r2上,所以5+（-）2=r2,②点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2,③联立①②③解得p=4,焦点到准线的距离为4.故选B.4.(2018·汕头市一模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且

8、AK

9、=

10、AF

11、,则△AFK的面积为(　B　)(A)4(B)8(C)16(D)32解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,所以K(-2,0).设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(-2,y0).因为

12、AK

13、=

14、AF

15、,又

16、AF

17、=

18、AB

19、=x0-(-2)=x0+

20、2,所以由

21、BK

22、2=

23、AK

24、2-

25、AB

26、2得=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,则A(2,±4),所以△AFK的面积为

27、KF

28、·

29、y0

30、=×4×4=8.故选B.5.(2017·上饶市一模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k等于(　D　)(A)(B)(C)(D)2解析:由抛物线C:y2=8x得焦点F(2,0).由题意可知,斜率k存在,设直线AB为y=k(x-2),代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x

31、2=4+,x1x2=4,所以y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k[(x1+x2)-4]=,y1y2=-·=-8=-16.又·=0,所以·=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=-+4=0,所以k=2.故选D.6.已知点P是抛物线y2=2x上的动点,且点P在y轴上的射影是M,点A(,4),则

32、PA

33、+

34、PM

35、的最小值是(　C　)(A)(B)4(C)(D)5解析:抛物线焦点F(,0),准线x=-,如图,延长PM交准线于N,由抛物线定义得

36、PF

37、

38、=

39、PN

40、.因为

41、PA

42、+

43、PM

44、+

45、MN

46、=

47、PA

48、+

49、PN

50、=

51、PA

52、+

53、PF

54、≥

55、AF

56、=5,而

57、MN

58、=,所以

59、PA

60、+

61、PM

62、≥5-=,当且仅当A,P,F三点共线时,取“=”号,此时,P位于抛物线上,所以

63、PA

64、+

65、PM

66、的最小值为.故选C.7.(2017·茂名市一模)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点上,已知灯口直径是60cm,灯深40cm,则光源到反射镜顶点的距离是　　　　cm. 解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0),点(40,30)在抛物线y2=2px上,所以900=2p×40.所以p=.所以=.因此,光源到反射镜顶点的距离为cm

67、.答案:能力提升(时间:15分钟)8.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为(　D　)(A)(B)(C)1(D)2解析:由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1,设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1,则

68、MM1

69、=.因为

70、AB

71、≤

72、AF

73、+

74、BF

75、(F为抛物线的焦点),即

76、AF

77、+

78、BF

79、≥6,所以

80、AA1

81、+

82、BB1

83、≥6,2

84、MM1

85、≥6,

86、MM1

87、≥3,故点M到x轴的距离d≥2.故选D.9.(2017