最新经典试题系列--高考题选编(解答题部分)---圆锥曲线的方程(一)

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1、高考题选编---圆锥曲线的方程三．解答题OFxyPMH1．（06年各地高考题汇编---安徽卷）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；（Ⅱ）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。解：∵四边形是，∴，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。（Ⅱ）当时，，，，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，解得，则，所以为所求。2．（北京卷）已知点，动点满足条件.记动

2、点的轨迹为.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：（x>0）。当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），B（x0，－），＝2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0，……1°依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，24y1），B（x2，y2），则解得

3、k

4、>1，又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1

5、＋x2）＋b2＝>2综上可知的最小值为23．（北京卷）椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2,,

6、PF1

7、=,

8、PF2

9、=.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。解：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在Rt△PF1F2中，椭圆的半焦距c=,b2=a2－c2=4,∴椭圆C的方程为＝1.(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1），从而可设直线l的方程为y=k(x+2

10、)+1,代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.因为A，B关于点M对称.∴解得，所以直线l的方程为即8x-9y+25=0.(经检验，符合题意)解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且①②由①－②得③因为A、B关于点M对称，所以24x1+x2=－4,y1+y2=2,代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)

11、4．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.解：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为5．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，且

12、线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。解：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上。设则圆半径24由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，记中点则线段AB的中点N在直线上，，或当直线AB与轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上。直线AB的方程是或6．（湖北卷）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。解：（Ⅰ）依题意得a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.故

13、椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）.①又点M异于顶点A、B，∴－20，∴·>0，则∠MBP24为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法二：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），则－2