资源描述：
《数学条件概率》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第3讲条件概率一、条件概率二、全概率公式三、贝叶斯公式一、条件概率例1在一个盒子中装有大小相同20个小球，其中红色小球9个，白色小球11个，塑料小球10个，玻璃小球10个。现从中任取一个小球，试求(1)取出小球是红色小球的概率.(2)取出小球是玻璃小球的概率.(3)取出小球既是玻璃小球，又是红色小球的概率。(4)如果已知所取小球是玻璃的，那么该小球是红色小球的概率。解设A={任取一球该小球是红色小球}B={任取一球该小球是玻璃小球}AB=(任取一球该小球是既是玻璃小球，又是红色小球}11VC==20,VC==
2、9红色白色SA20911塑料64VC==10,VC==3BA10B3910PA()==,PB()玻璃3720203PAB()=20在第4问中，任取的小球必须是玻璃的，这就比前3问多了一个附加条件，也就是已知在“事件B发生”的附加条件下，求事件A发生的概率。显然1C33/20PAB()PAB()3=P====P(
3、)AB1PA()C1010/20PA()102.定义设A,B是两个事件,且P(A)>0,称P(AB)P(BA)=P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.P(AB)同理可得P(AB)=P(B
4、)为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.3.性质(1)非负性:P(BA)≥0;(2)规范性:P(SB)=1,P(ΦB)=0;(3)P(A∪AB)=P(AB)+P(AB)−P(AAB);121212(4)P(AB)=1−P(AB).(5)可加可列性:设B,B,",是两两不相容的事12件,则有∞∞⎛⎞P⎜∪BiA⎟=∑P(BiA).⎝i=1⎠i=1二、乘法公式乘法定理设P(A)>0,则有P(AB)=P(A)P(B)设A,B,C为事件,且P(AB)>0,则有P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A).推广设A
5、1,A2,",An为n个事件,n≥2,且P(AA"A)>0,则有12n−1P(AA"A)=P(AAA"A)12nn12n−1P(AAA"A)"P(AA)P(A).n−112n−2211实例1抓阄是否与次序有关？五个阄,其中两个阄内写着“有”字,三个阄内不写字,五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同？解设A表示"第i人抓到有字阄"的事件,iP(A)=2i=1,2,3,4,5,则有1,5P(A2)=P(A2S)=P(A2∩(A1∪A1))=P(A1A2∪A1A2)=P(AA)+P(AA)1212=P()
6、AP(AA)+P(A)P(AA)12112121322=×+×=,54545P(A)=P(AS)=P(A(AA∪AA∪AA))333121212=P(AAA)+P(AAA)+P(AAA)123123123=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)+P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)+P(A)P(AA)P(AAA)1213122313213222=××+××+××=,54354354352依此类推P(A)=P(A)=.故抓阄与次序无关.455摸球试验例2设袋中有4只白球,2只红球,(1)无放回随机地抽
7、取两次,每次取一球,求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率?(2)若无放回的抽取3次,每次抽取一球,求(a)第一次是白球的情况下,第二次与第三次均是白球的概率?(b)第一次与第二次均是白球的情况下,第三次是白球的概率?解(1)设事件A为“两次抽取中至多抽到一个红球”事件A1为“第一次取出红球”,A2为“第二次取出红球”则有A=AA+AA+AA121212P(A)=P(AA)+P(AA)+P(AA)121212=P(A)P(AA)+P(A)P(AA)+P(A)P(AA)12112112143422414=⋅+⋅+
8、⋅=.65656515(2)设事件A为"第i次取出的是白球",i=1,2,3.iP(AAA)(a)P(AAA)=123231P(A)1342C1∵P(A)==,P(AAA)=4=1123363C56P(AAA)153()123PAAA===.231()PA23101P(AAA)()bP()AAA=123312()PAA1223C2C1()4()4∵PAA==,PAAA==1221233C5C566P(AAA)151()123∴PAAA===.312()PAA25212掷骰子试验例3掷两颗骰子,已知两颗骰子点数
9、之和为7,求其中有一颗为1点的概率.解设事件A为“两颗点数之和为7”,事件B为“一颗点数为1”.两颗点数之和为7的种数为3,其中有一颗为1点的种数为1,1故所求概率为P=.3例4某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?解设A表示“能活20岁以上”的事件;B表示“能活25岁以上”的事件,P(AB)则有P
