概率计算及条件概率

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1、§3概率的计算解：设所求事件为A.解：设A表示指定的3人排在一起。例1从0到9这十个数字中任取三个，问大小在中间的号码恰为5的概率是多少？例29个人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。例3一批产品共有10个，其中有4个废品，求：(1)这批产品的废品率(2)任取3个恰有1个是废品的概率(3)任取3个全非废品的概率解：分别用A、A1、A0表示上述三个事件=0.4=0.5注：若是有放回地抽取，答案会不同，如=0.216例4两封信随机地投向标号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的四个邮筒。求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率以及前两个邮筒中各有一封信的概

2、率。解：设A表示第二个邮筒中投入一封信。B表示前两个邮筒各有一封信。两封信共有42种可能的投法。A的不同投法有种B的不同投法有解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。有放回时，每人面对的签数是相同的乙抽取时，可能与甲的抽取情况有关，但可将甲与乙的抽取同时考虑，只要乙抽到难签即可例5(抽签的公正性)设有3个难签，5个易签。甲、乙、丙依次抽取，分别在有放回与不放回的情况下计算各人抽到难签的概率。例6设有5个人，每个人以同等机会被分配在7个房间中，求恰好有5个房间中各有一个人的概率。解：设A表示恰有5个房间中各有一个人。每人进入各

3、房间等可能基本事件总数为75个。(1)七个数字全不同的事件A1(2)不含1与0的事件A2(3)两个偶数五个奇数的事件A3解：基本事件总数为107=0.06048=0.20972=0.164例7从0到9十个数字种任取一个，取后放回，再取。先后共取七个数字。求下述事件的概率。例8两人约定于早上8点至9点在校门口见面。要求先到者等20分钟后离去。假定两人到校门的时间相互独立，而且在8至9点间是等可能的。问两人能见面的概率是多少？解：以x与y分别表示两人在8点之后到达校门口的分钟数。则0≤x≤60,0≤y≤60两人能见面，即

4、x-y

5、≤

6、20即图中的阴影部分能见面的概率为602002060§4概率的加法法则解：A、B分别表示一、二等品，A+B表示产品合格故P(A+B)=P(A)+P(B)可以推广为一般的加法法则：若A与B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)可以得到一些重要的推广。例110件产品中有6个一等品，3个二等品，1个废品。规定一、二等品为合格品。求合格率与一、二等品之间的关系。(1)如果n个事件A1,A2,…,An两两互斥，则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(2)若A1,A2,…,An构成一个完备事件组，它们的概率和

7、为P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1特别地，对立事件的概率之和为1。P(A)+P(Ā)=1常用形式为P(A)=1-P(Ā)一般有P(B-A)=P(B)-P(AB)这是因为B=(B-A)+AB见右图BA(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)称为广义加法法则A+B=A+(B-A)由于A与B-A互斥故P(A+B)=P(A)+P(B-A)再由(3)得证。可见，只需P(AB)=0加法法则就成立。若是多个事件之和，公式会变复杂。这是因为由图ABP(A+B+C)=P(A+B)+P(C)-P((A+B)C)=P(A)+P(B

8、)-P(AB)+P(C)-P(AC+BC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)其中要注意(AC)(BC)=ABC类似地，可以证明P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A2A4)-P(A3A4)+P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)-P(A1A2A3A4)解：分别用A2与A3表示抽到两个与三个白球。A2与A3互斥由加法法则，所求概率为P(A

9、2+A3)=P(A2)+P(A3)例2袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个为黑球。从中一次取出3个，求至少有两个是白球的概率。例350个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取3个，求其中有废品的概率。解：用Ai表示取到i个废品。A1,A2,A3互斥故P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)解：Ai表示有正好有i张相同。i＝0，2，3例4现有黑桃自A至K的13牌。有放回地抽3次。求(1)三张号码不同的概率。(2)三张中有相同号码的概率。(3)三张中至多有两张同号的概率。(2)P(A2+A3)=P(A2)

10、+P(A3)(3)P(A0+A2)=P(A0)+P(A2)＝1－P(A3)例5甲盒中有2个红球1个白球，乙盒中有2个白球1个红球。从甲盒中取一球放入乙盒，再从乙盒中取一球放入甲盒。求甲盒成分不变的概率。解：甲盒成分不变，包括两种情况从甲盒中取出红球，从乙盒中也取