2019-2020年高三数学 知识点精析精练21 直线与平面

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1、2019-2020年高三数学知识点精析精练21直线与平面【复习要点】【例题】【例1】正三棱锥P-ABC的高和底面边长都等于a，EF是PA与BC的公垂线，E、F分别是垂足。（1）求证：侧棱PA^截面BEC（2）求截面BEC的面积；（3）求截面BEC与底面ABC所成二面角的大小解：1）略2）易知F为BC的中点，在RtΔPAO中，AO=，PO=a，所以PA=，又易知PA⊥BE，在等腰三角形PAB中，可求得BE=，所以在直角三角形EFB中，求得EF=，所以3）∠EFA=300【例2】已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中

2、点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直.(1)求证：AB1⊥C1D1；(2)求证：AB1⊥面A1CD；(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角.解：(1)证明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中点，∴C1D1⊥A1B1于D1，又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA，而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1.(2)证明：连结D1D，∵D是AB中点，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂线定理得BD1⊥AB1，又∵

3、A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD.(3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，连结CO1得∠ACO为直线AC与平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=，∴∠OCA=.【例1】两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB.∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°∴Rt△MCP≌Rt△NBQ∴MP=NQ,故四

4、边形MPQN为平行四边形∴MN∥PQ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，∴MN∥平面BCE.证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，∴连结NH，由BF=AC，FN=AM，得,由∴MN∥平面BCE.【例2】在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.解：(1)证明：∵AB=AC

5、，D是BC的中点，∴AD⊥BC∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C.∴ME∥AD，∴M、E

6、、D、A共面∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1.【例1】已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B’在底面上的射影D落在BC上。（1）求证：AC⊥面BB’C’C。（2）当α为何值时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。解：（1）∵B’D⊥面ABC，AC面ABC，∴B’D⊥AC，又AC⊥BC，BC∩B’D=D，∴AC⊥面BB’C’C。（2）由三垂线定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’

7、在面BB’C’C内的射影B’C⊥BC’。即四边形BB’C’C为菱形。此时，BC=BB’。因为B’D⊥面ABC，所以，就是侧棱B’B与底面ABC所成的角。由D恰好落在BC上，且为BC的中点，所以，此时=。即当α=时，AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。【例1】如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；（2）求二面角的平面角的正切值。解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC