2019-2020年高三数学 知识点精析精练11 平面向量的综合应用

《2019-2020年高三数学 知识点精析精练11 平面向量的综合应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2019-2020年高三数学知识点精析精练11平面向量的综合应用【复习要点】1.解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向

2、量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？【例题】1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题【例1】已知向量满足条件，，求证：是正三角形解：令O为坐标原点，可设由，即①②两式平方和为，，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等

3、腰三角形.【例2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，从而可求：,=..2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题【例1】已知，AD为中线，求证证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，，则，.=，从而，.3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量【例2】已知点是且试用解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，，所以，易求，设.【例3】如图，用表示解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立

4、如图所示的直角坐标系，则，.4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例1】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求证：C1C⊥BD.(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.(1)证明：设=a,=b,=c,依题意，

5、a

6、=

7、b

8、，、、中两两所成夹角为θ，于是=a－b，=c(a－b)=c·a－c·b=

9、c

10、·

11、a

12、cosθ－

13、c

14、·

15、b

16、cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由=(a+b+c)·

17、(a－c)=

18、a

19、2+a·b－b·c－

20、c

21、2=

22、a

23、2－

24、c

25、2+

26、b

27、·

28、a

29、cosθ－

30、b

31、·

32、c

33、·cosθ=0,得当

34、a

35、=

36、c

37、时，A1C⊥DC1，同理可证当

38、a

39、=

40、c

41、时，A1C⊥BD，∴=1时，A1C⊥平面C1BD.【例2】如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求的长；(2)求cos<>的值；(3)求证：A1B⊥C1M.解：(1)如图，以C为原点建立空间直角坐标系O－xyz.依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴

42、

43、=.(

44、2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴==(0，1，2)=1×0+(－1)×1+2×2=3

45、

46、=(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M()∴∴A1B⊥C1M.5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.【例1】求平面内两点间的距离公式解：设点，,而点与点之间的距离为：6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.【例2】证明:证明：在单位圆上任取两点，以为始边，以为终边的角分别为，则点坐标为点坐标为；则

47、向量，它们的夹角为，,由向量夹角公式得：,从而得证.注：用同样的方法可证明7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.【例3】证明柯西不等式证明：令（1）当或时，，结论显然成立；（2）当且时，令为的夹角，则.又（当且仅当时等号成立）.（当且仅当时等号成立）【例1】求的最值解：原函数可变为，所以只须求的最值即可，构造，那么.故.【例2】三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值.解：(1)点M的坐标为xM=D点分的比为2.∴xD=(3)∠AB

48、C是与的夹角，而=(6，8），=(2，－5）.【平面向量的综合应用】一、选择题1.设A、B、C、D四点坐标依次是(－1，0