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《2014高三数学知识点精析精练11平面向量的综合应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、2014高三数学知识点精析精练11:平面向量的综合应用【复习要点】1.解决关于向U问题时，一要善于运用向M的平移、伸缩、合成、分解等变挽，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的
2、问题可用什么向量知识来解决？耑要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出來的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？【例题】1.利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题■»■»■♦■»»■»—>【例1】已知向量06，O尽，满足条件06+Og+Og=0，
3、5^
4、=
5、5X
6、=
7、^
8、
9、=i，求证：是正三角形解：令0为坐标原点，可设C(cos0,sin0)，P2(cos02，sinA)，6(cos03，sinA)由OP,+0P2=-0P3,即(cosOpSinOjXcost’sinOj^-cosO;-sin03)广COS0!+COS02=-COS03①sinG,+sin02=-sin03②两式平方和为1+2cos(0,—02)+1=1，cos(0,—02)=-—»由此可知3A的最小正角为1200，即M与@的夹角为1200，同理可得0$与M的夹角力120(),~OP［与M的夹角为1
10、20%这说明€,巧，6三点均匀分部在一个单位圆上,所以为等腰三角形.【例2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为•¥轴、；y轴逮立直角坐标系，设A(2fz，0),S(0,2f/)，则0(6z，0)，C(0,6z),从而可求：AC=(-2a,a)，BD=(a,-2a),cos0IacII^dI5a/.0=arcco2.利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题【例3】已知氣AD为中线，求证A叫SAC2）BC证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线
11、为i轴建立如图2直角坐标系，设A（a,bC（c，0），D（-,0I，K'J
12、ad
13、2（22CaI+（0-/?）2=-ac+a2+Z?2衬刺2BCTa2+b2-ac+从而lM=*〔
14、碑+网2:［丁
15、2i2AC-BD（—2“，6f）.（6?，—2“）_-4“Mi1=^（AB2+y4C2）-f-^3.利用向量的坐标运算，用己知向量表示未知向量【例4】已知点(9是A/^C内的一点，ZAOB=15Q°,ZBOC=90°,设OA=a,OB=OC=c,且
16、rt
17、=2,
18、/?
19、=l,
20、c
21、=3,试用“，和
22、Z?表不c.解：以O为原点，OC,OB所在的直线为x轴和＞，轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，ZAOx=120°f所以A(2cos120°,2sin120°)，即1,73)，易求B(0，-l),C(3,0),设OA=X15b+X2OC,BP(-1，V3)=X1(0,-1)+入2(3,0),-1=3入273=-入1Aq=-V3a=-V3Z?-—c.3【例5】如图，用OA,OB表示OC.解：以O为坐.标原点，以OA所在的直线力义轴，建立如图所示的直角坐标系，则4(1，0)，山ZCOA=30°,所以
23、C(5cos30°，5sin30°),WCoc=x15^+x2o^,bp
24、5a/35,—22loV335^3丁5a/35,一22X
25、(l,0)+X2^-p^y-^3.利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例6】如罔，已知平行六面体ABCD—A^C^的底而ABCD是菱形，且ZqC^ZCiCf^ZBCZ).(1)求证：CiC丄公£).CD(2)当$的值为多少时，能使AC丄平而qBD?请给出证明.HIcc,屮两两所成夹角(1)证明：设C£>=a，CT^Z^CC,=c，依题意，a=b,CD、CB、为
26、0，于是BD=CD—DB=a—b，CCl•BD=c(a—b)=c•a~c•b=c•
27、a
28、cos°~c•
29、Z>
30、cos没=0,...qc丄肌(2)解：若使AC丄平而CiBZZ只须证/VC丄/be丄DCp由沃=•(而-拓)=(a+b+c)•(a—c)=a2-^a•b_b•c—c2=a2—c2+b•
31、«
32、cos0~b•c•cos夕=0,得当
33、fl
34、=
35、c
36、时，AiC丄DCi,同理可证当
37、tf
38、=
39、c
40、时，/bC丄B£>,——=1时，AiC丄平而CXBD
