2014高三数学 知识点精析精练12 不等式的证明

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1、2014高三数学知识点精析精练12：不等式的证明【复习要点】1．不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2．不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用

2、换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.【例题】【例1】已知，求证：解1：．因为，所以，，所以，所以，，命题得证．解2：因为，所以，，所以，，由解1可知：上式>1．故命题得证．【例1】已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求证：(a+)(b+)≥.证法一：(分析综合法)欲证

3、原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证.证法二：(均值代换法)设a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，

4、t1

5、＜，

6、t2

7、＜显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤证法四：(综合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.证法五：(三角代换法）∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=

8、cos2α，α∈(0，)2【例1】证明不等式(n∈N*)证法一：(1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2，∴当n=k+1时，不等式成立.综合(1)、(2)得：当n∈N*时，都有1+＜2.另从k到k+1时的证明还有下列证法：证法二：对任意k∈N*，都有：证法三：设f(n)=那么对任意k∈N*都有：∴f(k+1)＞f(k)因此，对任意n∈N*都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，∴【不等式的证明练习】一、填空题1．已知x、y是正变数，a、b是正常数，且=1，x+y的最小值为__________.2

9、．设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且

10、a－d

11、＜

12、b－c

13、，则ad与bc的大小关系是__________.3．若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________.二、解答题4．已知a，b，c为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a2+b2+c2≥(2)≤65．已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，证明：x，y，z∈［0，］6．证明下列不等式：(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，则z2≥2(xy+yz+zx)(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，则≥2()7．(2001全国

14、)已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.(1)证明：niA＜miA；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m8．若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1.参考答案一、1.解析：令=cos2θ，=sin2θ，则x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2.答案：a+b+22.解析：由0≤

15、a－d

16、＜

17、b－c

18、(a－d)2＜(b－c)2(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc.答案：ad＞bc3.解析：把p、q看成变量，则m＜p＜n，m

19、＜q＜n.答案：m＜p＜q＜n二、4.(1)证法一：a2+b2+c2－=(3a2+3b2+3c2－1)=［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］=［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0∴a2+b2+c2≥证法二：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a