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1、2019-2020年高三数学知识点精析精练18直线与圆锥曲线【复习要点】直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问
2、题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.【例题】【例1】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，
3、PQ
4、=，求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由O
5、P⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴+1=0,∴m+n=2①又22,将m+n=2,代入得m·n=②由①、②式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1.【例2】如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①∵直线l与抛物线有两个不
6、同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴
7、MN
8、=4.点A到直线l的距离为d=.∴S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.∴S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.【例1】已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)。(1)求过P(1，2)
9、点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0………………(*)(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)①当Δ=0,即3－2k=0
10、,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.②当Δ＞0,即k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；当k＞时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)又∵x1+x2=
11、2,y1+y2=2∴2(x1－x2)=y1－y1即kAB==2但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.【例1】如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且
12、F1B
13、+
14、F2B
15、=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：
16、F2A
17、、
18、F2B
19、、
20、F2C
21、成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=
22、
23、F1B
24、+
25、F2B
26、=10,得a=5,又c=4,所以b==3.故椭圆方程为=1.(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得
27、F
