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1、2019-2020年高三数学知识点精析精练17求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2
2、+ny2=1(m＞0,n＞0).定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.【例题】【例1】双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，
3、OP
4、＜5,
5、PF1
6、,
7、F1F2
8、,
9、PF2
10、成等比数列，则b2=_________.解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则
11、PF1
12、2+
13、PF2
14、2=2(
15、PO
16、2+
17、F1O
18、2)＜2(52+c2),即
19、PF1
20、2+
21、PF2
22、2＜50+2c2,又∵
23、PF1
24、2+
25、PF2
26、2=(
27、PF1
28、－
29、PF2
30、)2+2
31、PF1
32、·
33、PF2
34、,依双曲线定义，有
35、PF1
36、－
37、PF2
38、=4,依已
39、知条件有
40、PF1
41、·
42、PF2
43、=
44、F1F2
45、2=4c2∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.答案：1【例2】已知圆C1的方程为，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解：由设椭圆方程为设又两式相减，得又即将由得解得故所有椭圆方程【例1】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.解法一：由e=,得,从而a2=2b2
46、,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=－x+1.解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的
47、方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.直线l：y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=－1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.解法3：设椭圆方程为直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线，，，，，，，，，，，，，则，，，，所以所求的椭圆方程为：【例1】如图，
48、已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)由e2=，得.∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x设点P1(x1,x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P分所成的比λ==2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2①即x1x2=②由①、②得a2=4,b2=9故双曲线方程为=1.【例1】过椭圆C
49、：上一动点P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。(1)已知P点坐标为(x0，y0)并且x0y0≠0，试求直线AB方程；(2)若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；(3)椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)切线PA：，PB：∵P点在切线PA、PB上，∴∴直线AB的方程为(2)在直线
